图的超立方体与图嵌入 1. 超立方体图的基本定义 超立方体图 \( Q_ n \) 是一个非常重要的图类，它在计算机科学、编码理论和网络拓扑中有着广泛的应用。\( Q_ n \) 的顶点集是由所有长度为 \( n \) 的二进制串（即由0和1组成的序列）构成的。例如，当 \( n=3 \) 时，顶点包括000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111。两个顶点之间有一条边，当且仅当它们的二进制串表示仅在一位上不同。比如，顶点001和101是相邻的，因为它们仅在第二位不同；而001和110不相邻，因为它们有两位不同。 2. 超立方体图的性质 超立方体图 \( Q_ n \) 具有一系列优美的组合与度量性质： 正则性 ：\( Q_ n \) 是一个 \( n \)-正则图，即每个顶点的度都是 \( n \)。 顶点与边数 ：\( Q_ n \) 有 \( 2^n \) 个顶点和 \( n \cdot 2^{n-1} \) 条边。 二分性 ：\( Q_ n \) 是二分图。我们可以根据二进制串中1的个数的奇偶性将顶点划分为两个集合，所有边都连接一个含奇数个1的顶点和一个含偶数个1的顶点。 距离与直径 ：两个顶点之间的距离等于它们的二进制串表示在对应位上不同的位数（即汉明距离）。\( Q_ n \) 的直径（图中任意两点间最大距离）就是 \( n \)。 递归结构 ：一个 \( Q_ n \) 可以由两个 \( Q_ {n-1} \) 的拷贝通过连接对应顶点而得到。这体现了其自相似的分形结构。 3. 超立方体作为互联网络 在并行计算中，处理单元（处理器）如何连接成一个网络是核心问题。超立方体拓扑因其优良性质常被用作互联网络模型： 对称性 ：\( Q_ n \) 是顶点传递的，从任何顶点看，图的局部结构都是一样的，这有利于设计对称的通信算法。 容错性 ：由于有大量不相交的路径连接任意两点，即使一些顶点或边失效，网络仍然很可能保持连通。 可嵌入性 ：许多其他常见的网络拓扑（如环、网格、树）可以“嵌入”到超立方体中，这意味着可以在超立方体网络上高效地模拟这些网络上的算法。 4. 图嵌入的概念 图嵌入是图论中的一个重要概念。形式化地说，给定两个图 \( G \)（客户图）和 \( H \)（宿主图），一个从 \( G \) 到 \( H \) 的嵌入是一个映射对 \( (\phi, \psi) \)： \( \phi \) 将 \( G \) 的每个顶点映射到 \( H \) 的一个顶点。 \( \psi \) 将 \( G \) 的每条边 \( (u,v) \) 映射到 \( H \) 中连接 \( \phi(u) \) 和 \( \phi(v) \) 的一条路径。 5. 嵌入的质量度量 评价一个嵌入的好坏，主要看它引起的“开销”： 膨胀 ：宿主图 \( H \) 中被映射到的顶点数。通常希望是一对一的顶点映射，即膨胀为1。 膨胀 ：客户图 \( G \) 的一条边在宿主图 \( H \) 中被映射成的路径的长度。如果 \( G \) 的边在 \( H \) 中直接对应一条边，则膨胀为1，这是最理想的。 拥塞 ：宿主图 \( H \) 的某条边被多少条 \( G \) 的边的映射路径所经过。拥塞最小化对于在 \( H \) 上并行模拟 \( G \) 的通信至关重要。 负载 ：宿主图 \( H \) 的某个顶点被映射了多少个 \( G \) 的顶点。 目标通常是设计一个嵌入，使得膨胀为1（顶点一对一映射），并同时最小化膨胀和拥塞。 6. 超立方体上的嵌入实例 一个经典的例子是将环网嵌入到超立方体中。一个包含 \( 2^n \) 个顶点的环 \( C_ {2^n} \) 可以非常优雅地嵌入到 \( Q_ n \) 中。使用格雷码（一种相邻码字仅有一位不同的二进制编码序列）可以为环的顶点排序，并将环的边映射到超立方体上长度为1的边（即膨胀为1）。这种嵌入的拥塞也为1，是非常高效的嵌入。另一个例子是，任意一个 \( n \) 个顶点的树都可以以膨胀为1的方式嵌入到 \( Q_ {n-1} \) 中，尽管膨胀和拥塞可能会大于1。 7. 图嵌入的复杂性 判断一个图 \( G \) 是否能以膨胀为1（即作为子图）嵌入到超立方体 \( Q_ n \) 中，是一个NP-完全问题。这意味着没有已知的多项式时间算法能解决所有情况。因此，研究重点往往转向为特定图类（如网格、某些树）寻找构造性的、高效的嵌入方案，或者研究近似嵌入。 8. 超立方体图嵌入的应用与意义 图嵌入，特别是超立方体上的嵌入，其应用远超理论本身： 并行计算 ：将计算任务的通信图（如网格、树）映射到物理的并行计算机网络（其拓扑可能是超立方体或类似结构）上，以最小化通信延迟和竞争。 VLSI设计 ：在芯片布局中，将逻辑电路（可视为图）嵌入到二维或三维网格上，超立方体的嵌入技术可以提供灵感。 数据结构和算法 ：超立方体及其嵌入性质被用于设计高效的数据结构，如在并行算法中用于任务分配和路由。 通过理解超立方体图及其嵌入理论，我们掌握了一种强大的工具，用于分析和优化在各种网络结构上的信息处理与通信。