模的Gorenstein内射模 我们先从内射模的概念开始。内射模是模论中对偶于投射模的基本概念：一个R-模E称为内射模，如果对任意模的单同态i: A→B和同态f: A→E，都存在同态g: B→E使得g∘i = f。直观上，这意味着从子模A到E的同态总能延拓到整个模B上。 接下来是Gorenstein环的背景。一个诺特环R称为Gorenstein环，如果它的内射维数有限（即作为R-模，其内射维数id_ R(R) < ∞）。在Gorenstein环上，模论性质特别优美，这促使了Gorenstein同调代数的发展。 模的Gorenstein内射模的定义是：一个R-模M称为Gorenstein内射模，如果存在一个内射模的正合序列I• = …→I₁→I₀→I⁻¹→…，使得M ≅ Im(I₀→I⁻¹)，并且对任意内射模E，函子Hom_ R(E, -)保持这个序列的正合性。等价地，M是某个内射模的余核，并且Ext¹_ R(E, M)=0对所有内射模E成立。 Gorenstein内射模是内射模的真推广：所有内射模都是Gorenstein内射模，但反之不成立。例如，在Gorenstein环上，所有模都有有限的Gorenstein内射维数，这推广了经典的内射维数理论。 Gorenstein内射模的重要性体现在Gorenstein内射维数上。一个模M的Gorenstein内射维数Gid_ R(M)定义为最短的Gorenstein内射分解的长度。在Gorenstein环上，这个维数具有良好的性质，如对偶性定理：Gid_ R(M) = Gpd_ R(M)（Gorenstein投射维数）对某些模类成立。 最后，Gorenstein内射模与 Tate 上同调有深刻联系。通过构造特殊的完全内射分解，可以定义Tate上同调函子，这些函子在Gorenstein环上的表示论和代数几何中有重要应用，例如在研究奇点的导出范畴时。