复变函数的柯西-黎曼方程与复可微性的等价性
- 复可微性的定义回顾
复变函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处复可微（全纯）的定义是极限
\[ f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \]
存在且有限，其中 \(h\) 是复数。这一极限要求与实函数可微性的本质区别在于：\(h\) 可以沿任意路径趋近于 0（如实轴、虚轴或斜向路径），而极限必须一致。
- 柯西-黎曼方程的推导
设 \(z = x + iy\)，\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\)，其中 \(u, v\) 是实函数。若 \(f\) 在 \(z_0\) 复可微，考虑 \(h\) 沿实轴（\(h = \Delta x\)）和虚轴（\(h = i\Delta y\)）趋近于 0 的两种情形：- 沿实轴：
\[ f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}. \]
- 沿虚轴：
\[ f'(z_0) = -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}. \]
对比两式实部与虚部，得到柯西-黎曼方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]
- 等价性的严格条件
仅满足柯西-黎曼方程不足以保证复可微性。反例：函数
\[ f(z) = \begin{cases} e^{-z^{-4}} & z \neq 0 \\ 0 & z = 0 \end{cases} \]
在 \(z=0\) 处满足柯西-黎曼方程，但不可微。
关键补充条件：若 \(u, v\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微（作为实函数），则柯西-黎曼方程成为复可微的充要条件。实可微性意味着 \(u, v\) 在该点附近可用线性函数近似，且误差为 \(o(|h|)\)。
- 几何与物理意义
- 几何解释：柯西-黎曼方程等价于 \(f\) 的微分映射保持角度和方向（保角性）。Jacobian 矩阵形如
\[ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, \]
对应复数的伸缩旋转变换。
- 物理意义：若 \(f\) 解析，其实部 \(u\) 和虚部 \(v\) 均为调和函数，可描述无源无旋的平面流场（如静电场或流体势函数）。
- 推广与注意事项
- 极坐标形式：设 \(z = re^{i\theta}\)，柯西-黎曼方程变为
\[ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}. \]
- 弱化条件：若 \(f\) 连续且满足柯西-黎曼方程（分布意义），则 \(f\) 解析（Looman-Menchoff 定理）。
通过以上步骤，柯西-黎曼方程与复可微性的等价性得以完整建立，并揭示了其深层数学与物理内涵。