模的局部对偶 我们先从最基础的模与局部环开始。设 \((R, \mathfrak{m})\) 是诺特局部环，\(M\) 是有限生成 \(R\)-模。局部对偶是研究 \(M\) 的局部上同调与对偶函子之间关系的理论。 第一步：理解局部上同调 局部上同调模 \(H^i_ {\mathfrak{m}}(M)\) 衡量 \(M\) 在闭点 \(\mathfrak{m}\) 附近的局部性质。具体可通过直接极限定义： \[ H^i_ {\mathfrak{m}}(M) = \varinjlim_ n \operatorname{Ext}^i_ R(R/\mathfrak{m}^n, M) \] 当 \(i=0\) 时，\(H^0_ {\mathfrak{m}}(M) = \{m \in M \mid \exists n, \mathfrak{m}^n m=0\}\) 是 \(M\) 的挠部分。 第二步：引入对偶函子 在局部对偶中，关键的对偶函子是 Matlis 对偶 。设 \(E\) 是 \(R\) 的内射包 \(E_ R(R/\mathfrak{m})\)（即剩余域的内射包）。Matlis 对偶函子定义为： \[ (-)^\vee = \operatorname{Hom}_ R(-, E) \] 此函子将 Artin 模（满足降链条件的模）反射为诺特模，且对 Artin 模有 \(M \cong M^{\vee\vee}\)。 第三步：局部对偶定理的陈述 设 \(R\) 为科恩-麦考利环，维数为 \(d\)。则对任意有限生成 \(R\)-模 \(M\)，存在典范同构： \[ H^i_ {\mathfrak{m}}(M) \cong \operatorname{Ext}^{d-i} R(M, \omega_ R)^\vee \] 其中 \(\omega_ R\) 是 \(R\) 的典范模（当 \(R\) 是戈尔斯坦环时 \(\omega_ R = R\)）。特别地，当 \(M=R\) 时有： \[ H^i {\mathfrak{m}}(R) \cong \operatorname{Ext}^{d-i}_ R(R, \omega_ R)^\vee = \begin{cases} 0 & i \neq d \\ \omega_ R^\vee & i = d \end{cases} \] 第四步：几何意义与推论 在代数几何中，若 \(X\) 是局部环为 \(R\) 的仿射代数簇，\(H^i_ {\mathfrak{m}}(M)\) 对应支集在闭点处的上同调。局部对偶将局部上同调转化为更易计算的 Ext 模的对偶，并导出 局部差分化定理 ：当 \(R\) 是戈尔斯坦环时，有 \(H^i_ {\mathfrak{m}}(M)^\vee \cong \operatorname{Ext}^{d-i}_ R(M, R)\)。 第五步：应用示例 考虑 \(R = k[ [ x_ 1, \dots, x_ d]]\)（形式幂级数环），其典范模 \(\omega_ R = R\)。对 \(M = R/(f_ 1, \dots, f_ r)\)，局部对偶将 \(H^i_ {\mathfrak{m}}(M)\) 的计算转化为 \(R\)-模的 Ext 模，进而通过科斯居尔复形等工具具体求解。