这里：

其中：

    这个表达式来自于对伽马过程矩生成函数的计算。

方差伽马模型 方差伽马模型是一种用于描述资产价格动态的随机过程，它通过引入随机的时间变化来捕捉资产收益的尖峰厚尾特征和可能的偏态。与几何布朗运动等传统模型相比，它能更好地拟合市场观察到的期权隐含波动率微笑/偏斜等现象。 核心思想：用随机交易时间替代日历时间 方差伽马模型的基本思想是，市场的“经济时间”或“交易时间”并非均匀流逝的日历时间。在信息量小、交易平淡的日子里，经济时间流逝得慢；而在信息量大、交易活跃的日子里，经济时间流逝得快。模型通过一个随机过程（伽马过程）来刻画这种变化的“时间尺度”。 构建模块：布朗运动与伽马过程 标准布朗运动 (Brownian Motion) ： 我们记作 \( B(t) \)，其特点是均值为0，方差为 \( t \)。它是构建许多金融模型的基础。 伽马过程 (Gamma Process) ： 这是一个递增的随机过程，记作 \( G(t; \mu, \nu) \)。这里的 \( t \) 是日历时间，而 \( \mu \) 和 \( \nu \) 是形状参数。伽马过程在时间 \( t \) 内的增量 \( g = G(t) \) 服从伽马分布。这个增量 \( g \) 将被用作新的“随机时间”。 模型构建：时间改变 (Time Change) 方差伽马模型的核心步骤是“时间改变”。我们不是让布朗运动在日历时间 \( t \) 内演化，而是让它在随机的“经济时间” \( g \) 内演化。 首先，我们定义一个随机时间 \( T_ t \)：\( T_ t = G(t; 1, \nu) \)。这意味着在日历时间 \( t \) 内，经济时间的流逝量 \( T_ t \) 是一个服从伽马分布的随机变量。参数 \( \nu \) 控制着时间变化的波动性，\( \nu > 0 \)。 然后，我们构建方差伽马过程 \( X(t) \)： \[ X(t) = \theta T_ t + \sigma B(T_ t) \] 这里： \( B(T_ t) \) 是一个服从均值为0、方差为 \( T_ t \) 的正态分布的随机变量（给定 \( T_ t \) 的条件下）。 \( \theta \) 是一个实数，称为漂移参数。它控制了过程的偏斜度（Skewness）。当 \( \theta > 0 \) 时，过程右偏；当 \( \theta < 0 \) 时，过程左偏。 \( \sigma > 0 \) 是波动率参数。 资产价格动态 在风险中性测度下，资产价格 \( S(t) \) 被建模为： \[ S(t) = S(0) \exp\left( rt + \omega t + X(t) \right) \] 其中： \( S(0) \) 是初始资产价格。 \( r \) 是无风险利率。 \( \omega \) 是一个修正项，称为“均值修正项”或“鞅修正项”。它的作用是确保贴现后的资产价格 \( e^{-rt}S(t) \) 是一个鞅（即在风险中性测度下，其未来期望值等于当前值）。\( \omega \) 的具体表达式为： \[ \omega = \frac{1}{\nu} \ln\left(1 - \theta\nu - \frac{1}{2}\sigma^2\nu\right) \] 这个表达式来自于对伽马过程矩生成函数的计算。 模型特性 无限活动 ： 方差伽马过程是一个纯跳跃过程，即在任意小的时间区间内都有无限多次跳跃，但大多数跳跃的幅度非常小。这比简单的跳跃-扩散模型更能反映市场价格的微观结构。 尖峰厚尾 ： 即使 \( \theta = 0 \)，该模型产生的收益分布也比正态分布具有更高的峰度（更尖的峰和更厚的尾部），这能更好地解释极端价格变动。 波动率微笑/偏斜 ： 通过调整参数 \( \theta \)（控制偏斜）和 \( \nu \)（控制峰度），模型可以生成与市场观察到的波动率微笑或偏斜非常相似的隐含波动率曲线。 模型参数总结 方差伽马模型主要由三个参数决定： \( \sigma \)： 波动率，控制过程的整体扩散程度。 \( \theta \)： 偏度，控制分布的不对称性。 \( \nu \)： 方差率（variance rate），控制时间变化的随机性，从而控制分布的峰度和尾部厚度。\( \nu \) 越小，过程越接近几何布朗运动。 方差伽马模型因其能够以相对简洁的数学形式（其特征函数是指数形式的简单闭式解）捕捉重要的市场现象，而成为期权定价和风险管理的有效工具。