数学物理方程中的变分原理与哈密顿-雅可比理论（续二）
1. 变分原理的回顾与哈密顿-雅可比理论的引入
在之前的讨论中，我们介绍了变分原理的基本思想，即物理系统的真实运动对应于作用量泛函的极值（通常是极小值），并由此导出了欧拉-拉格朗日方程。随后，我们引入了哈密顿力学框架，通过勒让德变换将拉格朗日量 \(L(q, \dot{q}, t)\) 转换为哈密顿量 \(H(q, p, t)\)，从而将运动方程表示为哈密顿正则方程。哈密顿-雅可比理论是这一框架的深化，它试图通过一个称为“主函数”的标量场 \(S(q, t)\) 来完全描述系统的动力学，其核心方程是哈密顿-雅可比方程。
2. 哈密顿主函数与哈密顿-雅可比方程
哈密顿主函数 \(S(q, t)\) 定义为沿系统真实路径的作用量：
\[ S(q, t) = \int_{t_0}^{t} L(q(\tau), \dot{q}(\tau), \tau) \, d\tau \]
其中积分沿的是从初始条件 \((q_0, t_0)\) 到当前状态 \((q, t)\) 的真实路径。可以证明，主函数 \(S\) 对广义坐标 \(q\) 的偏导数等于广义动量 \(p\)：
\[ p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} \]
同时，主函数对时间 \(t\) 的偏导数等于负的哈密顿量：
\[ \frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0 \]
这个一阶非线性偏微分方程就是哈密顿-雅可比方程。求解这个方程，意味着找到一个函数 \(S(q, t)\)，它包含了系统所有可能运动的“信息”。
3. 哈密顿-雅可比方程的解与完全积分
哈密顿-雅可比方程的解 \(S(q, t)\) 依赖于 \(n\) 个（对于 \(n\) 个自由度的系统）不可加常数 \(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\)。如果一个解包含了恰好 \(n\) 个不可加常数，则称其为完全积分。形式上，完全积分可写为：
\[ S = S(q_1, ..., q_n, t; \alpha_1, ..., \alpha_n) \]
这些常数 \(\alpha_i\) 在物理上对应于运动的 \(n\) 个首次积分（守恒量）。一旦找到了完全积分，系统的运动规律就可以通过以下关系式确定：
\[ \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} = \beta_i \quad (i=1,2,...,n) \]
\[ p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} \quad (i=1,2,...,n) \]
其中 \(\beta_i\) 是另外 \(n\) 个常数。这 \(2n\) 个方程共同确定了广义坐标 \(q_i(t)\) 和广义动量 \(p_i(t)\) 作为时间 \(t\) 的函数，即给出了系统的精确运动轨迹。
4. 几何解释：作用量场与波前
哈密顿-雅可比理论有一个深刻的几何解释。可以将主函数 \(S(q, t)\) 看作是在位形空间（由广义坐标 \(q\) 张成的空间）中定义的一个随时间演化的“作用量场”。在固定时刻 \(t\)，方程 \(S(q, t) = \text{常数}\) 定义了位形空间中的一个曲面，称为等作用量面或波前。系统的真实路径总是垂直于这些波前，其“速度”（在位形空间中）由 \(\nabla S\) 决定。这种描述与几何光学中的波前和光线概念惊人地相似，为后来波动力学的建立提供了关键启示。
5. 分离变量法求解哈密顿-雅可比方程
直接求解非线性的哈密顿-雅可比方程通常很困难。但在许多重要情况下，如果哈密顿量不显含时间（保守系统），且坐标可以选择得使方程可分离，则问题可以简化。
- 时间分离：对于保守系统，\(H = E\)（常数），可设 \(S(q, t) = W(q) - Et\)。代入哈密顿-雅可比方程，得到约化哈密顿-雅可比方程：
\[ H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E \]
其中 \(W(q)\) 称为哈密顿特征函数。
- 坐标分离：如果进一步地，哈密顿量（或约化方程）可以写成若干项之和，每一项只依赖于一个广义坐标 \(q_i\) 及其对应的偏导数 \(\partial W / \partial q_i\)，即：
\[ H = \sum_{i=1}^n H_i\left(q_i, \frac{\partial W}{\partial q_i}\right) \]
那么我们可以寻求形如 \(W(q) = \sum_{i=1}^n W_i(q_i)\) 的解。这将偏微分方程转化为一组常微分方程，大大降低了求解难度。例如，在中心力场问题、谐振子问题中，分离变量法非常有效。
6. 与量子力学的联系
哈密顿-雅可比理论是经典力学向量子力学过渡的桥梁。在量子力学的WKB近似（半经典近似）中，波函数 \(\Psi\) 被表示为：
\[ \Psi(q, t) \approx A(q, t) \exp\left( \frac{i}{\hbar} S(q, t) \right) \]
其中 \(S(q, t)\) 正是经典力学中的哈密顿主函数。将上述形式代入薛定谔方程，并取 \(\hbar \to 0\) 的极限，就可以重新得到哈密顿-雅可比方程。这表明，在宏观极限下，量子力学退化为由哈密顿-雅可比方程所描述的经典力学。主函数 \(S\) 的梯度决定了粒子的概率流，其等值面（波前）对应于量子力学中的等相位面。
总结
哈密顿-雅可比理论通过一个标量函数 \(S\) 将力学系统的动力学完全几何化，提供了求解经典力学问题的一个强大而优美的框架。它不仅本身是分析力学的高峰，其核心思想——用一个偏微分方程的解来描述整个系统的演化，以及其几何光学类比——也为现代物理（尤其是量子力学和量子场论）的发展奠定了重要的概念基础。