平行投影的几何不变量（续二） 我们继续深入探讨平行投影下的几何不变量。之前我们已经讨论了长度比、平行性和简单交比的不变性。现在，我们将引入一个更核心、更强大的不变量—— 复交比 。 第一步：回顾交比的定义 对于共线的四个点 A, B, C, D，它们的交比 (A,B;C,D) 定义为两个单比的比值： (A,B;C,D) = (AC/BC) / (AD/BD) 在仿射变换（包括平行投影）下，单比是保持不变的，因此交比也保持不变。 第二步：从实交比到复交比 当我们考虑更一般的射影变换时（例如中心投影），实交比不再保持不变。但是，如果我们引入复数，并将点用齐次坐标表示，我们可以定义一个在 所有射影变换下都保持不变 的量，这就是复交比。 齐次坐标 ：对于一个二维平面上的点 (x, y)，我们可以用三个不全为零的数 (X, Y, Z) 来表示它，其中 x = X/Z, y = Y/Z。这组坐标 (X, Y, Z) 就是该点的齐次坐标。重要的是，(kX, kY, kZ)（k≠0）表示的是同一个点。 复交比的定义 ：设有四个共线的点 P1, P2, P3, P4，它们的齐次坐标向量分别是 p1 , p2 , p3 , p4 。由于它们共线，每个向量都可以表示为前两个向量的线性组合，例如 p3 = a p1 + b p2 , p4 = c p1 + d p2 。那么，这四个点的复交比定义为： (P1,P2;P3,P4) = (a/b) / (c/d) = (ad)/(bc) 这个值是一个复数，并且与所选的基向量 p1 和 p2 无关，也与齐次坐标的缩放因子 k 无关。 第三步：复交比作为平行投影的不变量 平行投影是射影变换的一种特例（其投影中心在无穷远处）。由于复交比在 所有 射影变换下都保持不变，它自然在平行投影这个子集下也保持不变。这意味着： 一条直线上任意四个点的复交比，在经过平行投影后，在新得到的直线上对应的四个点，其复交比值与原值完全相同。 第四步：复交比的几何意义与特殊值 复交比的值包含了丰富的几何信息： 值为实数 ：当四个点共圆或共线时，它们的复交比是实数。在我们讨论的共线情形下，复交比总是实数，且退化为我们之前定义的实交比。 调和点列 ：如果复交比 (P1,P2;P3,P4) = -1，那么我们称这四点构成一个 调和点列 。点 P3 和 P4 关于点 P1 和 P2 调和共轭 。这是射影几何中一个极其重要的概念，例如在完全四边形的性质中会自然出现。平行投影会保持这种调和关系。 第五步：复交比的威力——连接仿射与射影 复交比之所以强大，在于它统一并推广了之前的不变量： 它包含了 长度比 和 单比 的信息。例如，(A,B;C,∞) = (AC/BC)，其中 ∞ 是直线上的无穷远点。 它本身是 射影不变 的，而平行投影（仿射变换）是其子集。因此，研究复交比等于在一个更广阔的框架下研究平行投影的性质。 通过掌握复交比，你实际上获得了一个工具，可以同时处理仿射几何（平行投影）和更一般的射影几何中的度量关系。这是从相对具体的“平行投影”概念通向更抽象、更强大的“射影几何”世界的一座关键桥梁。