组合数学中的组合TQFT（拓扑量子场论）

1. 基本概念引入
   组合TQFT是将拓扑量子场论（TQFT）的框架与组合结构相结合的理论。在经典TQFT中，我们给每个流形赋予一个向量空间，给每个流形间的配边（cobordism）赋予一个线性映射，并满足组合公理（如复合运算的函子性）。组合TQFT通过离散化（如胞腔分解、图、组合多面体）来构造这些数学对象，使得计算和分类更易于处理。

2. 组合化的动机与工具
   拓扑流形的连续结构常需借助代数拓扑工具（如同调论），而组合TQFT将流形替换为组合模型（如单纯复形或立方复形），将配边关系转化为组合映射。例如，一个2维流形可以离散化为一个平面图，其配边对应图的嵌入或缝合操作。这种离散化允许我们使用组合不变量（如图的色多项式、Tutte多项式）来模拟TQFT的物理量（如配分函数）。

3. 具体构造：从组合结构到线性代数
   以2维TQFT为例：

   • 将闭曲面分解为若干胞腔（三角形或多边形），每个胞腔边界赋予一个标号（如群表示或向量空间基）。
   • 定义“组合配边”为胞腔复形的粘合操作（如沿边界的拼接），并赋予其一个线性映射（通过组合规则生成，如Frobenius代数的乘法与余乘法）。
   • 满足公理：组合配边的复合对应线性映射的复合，且与胞腔分解的选择无关（组合不变性）。

4. 与经典TQFT的关联
   组合TQFT可视为经典TQFT的离散近似，但某些情况下能给出精确对应（如通过状态和模型）。例如，在2维情形下，组合TQFT的分类与Frobenius代数的分类一致，而后者正是2维TQFT的代数基础。高阶维度的组合TQFT则涉及更复杂的组合结构（如高阶范畴、层论）。

5. 应用与前沿
   组合TQFT在拓扑序（topological order）理论、量子计算（如拓扑量子纠错码）和组合优化中有应用。例如，通过组合TQFT构造的拓扑不变量可用于检测材料的拓扑相变，或分析网格模型的全局约束（如离散曲率分布）。