曲面的主曲率与欧拉公式
好的，我们开始学习“曲面的主曲率与欧拉公式”。这个概念是微分几何中的核心内容，它深刻地描述了曲面在一点附近的弯曲特性。我们将从最基础的概念出发，一步步深入。
第一步：理解曲面在一点的法曲率
想象一个光滑的曲面，比如一个鸡蛋的表面。在曲面上任意一点P，我们都可以做出一个唯一的切平面（就像一张纸刚好在那个点贴住曲面）。与切平面垂直的直线，就是曲面在P点的法线。
现在，我们用一系列通过这条法线的平面去切割曲面。每一个这样的平面都会与曲面相交，得到一条通过P点的平面曲线，称为法截线。
关键点来了：每一条法截线在P点都有自己的曲率（即弯曲程度）。这个曲率，连同它的正负号（通常规定曲线朝法向量方向弯曲时曲率为正，反之为负），就被定义为曲面在P点沿该法截线方向的法曲率。
所以，在P点，随着切割平面绕着法线旋转，我们会得到无穷多个方向，每个方向都对应一个法曲率的值。
第二步：发现主曲率——法曲率的极值
一个自然而然的问题是：在这无穷多个法曲率中，是否存在最大值和最小值？
答案是肯定的。对于（大多数）曲面上的（大多数）点，在所有这些通过法线的平面所截出的曲线中，有且仅有两个互相垂直的方向，使得对应的法曲率分别达到最大值 \(k_1\) 和最小值 \(k_2\)。这两个极值的法曲率 \(k_1\) 和 \(k_2\)，就被称为曲面在该点的主曲率。
- \(k_1\)：最大主曲率
- \(k_2\)：最小主曲率
这两个主曲率所在的方向，被称为主方向。
一个直观的例子：圆柱面
考虑一个半径为R的圆柱面。在圆柱面上任意一点P：
- 一个主方向是沿着圆柱的母线（直线方向）。沿着这个方向，曲面根本不弯曲，所以对应的法曲率 \(k_1 = 0\)。
- 另一个主方向是与母线垂直的方向（即横截面的圆的方向）。这个圆的曲率是 \(1/R\)，所以另一个主曲率 \(k_2 = 1/R\)。
这两个方向是互相垂直的。
第三步：引入欧拉公式——连接任意方向曲率与主曲率的桥梁
现在我们知道了主曲率 \(k_1\) 和 \(k_2\)，以及它们对应的主方向。那么，对于一个与主方向成任意角度 \(\theta\) 的方向，其法曲率 \(k_n(\theta)\) 是多少呢？
这个关系由伟大的数学家欧拉发现，被称为欧拉公式：
\[ k_n(\theta) = k_1 \cos^2\theta + k_2 \sin^2\theta \]
这个公式的意义非常深刻：
- 桥梁作用：它将任意方向 \(\theta\) 的法曲率，用两个主曲率和角度 \(\theta\) 表示了出来。只要你知道了 \(k_1\)，\(k_2\) 和主方向，就能计算出任何方向的弯曲程度。
- 验证极值：当 \(\theta = 0^\circ\) 时，\(k_n(0) = k_1\)；当 \(\theta = 90^\circ\) 时，\(k_n(90^\circ) = k_2\)。这正好对应了最大和最小的法曲率。
- 对称性：公式显示了法曲率关于主方向是对称分布的。
第四步：主曲率的应用——定义高斯曲率与平均曲率
主曲率 \(k_1\) 和 \(k_2\) 是描述曲面局部形状的两个最根本的量。通过它们，我们可以定义另外两个极其重要的几何量：
- 高斯曲率 (K)：定义为两个主曲率的乘积。
\[ K = k_1 \cdot k_2 \]
高斯曲率是**内蕴几何**的核心，意味着它的值只依赖于曲面本身的度量（比如曲面上的“居民”通过测量长度就能确定的量），而不依赖于曲面如何嵌入到三维空间中。著名的“绝妙定理”指出高斯曲率是内蕴的。它的符号决定了点的类型：
- \(K > 0\)：椭圆点（如球面上的点，两个主曲率同号）。
- \(K = 0\)：抛物点（如圆柱面上的点，至少一个主曲率为零）。
- \(K < 0\)：双曲点（如马鞍面上的点，两个主曲率异号）。
- 平均曲率 (H)：定义为两个主曲率的算术平均数。
\[ H = \frac{k_1 + k_2}{2} \]
平均曲率与曲面的外在形状密切相关，例如，它决定了肥皂膜（极小曲面）的形状，因为肥皂膜会自然形成平均曲率 \(H = 0\) 的形态以最小化表面积。
总结
- 主曲率 (\(k_1\), \(k_2\)) 是曲面在一点所有方向上的法曲率中的最大值和最小值。
- 主方向是这两个主曲率对应的、互相垂直的方向。
- 欧拉公式 \(k_n(\theta) = k_1 \cos^2\theta + k_2 \sin^2\theta\) 精确描述了任意方向的法曲率如何由主曲率决定。
- 主曲率是构建高斯曲率 (K) 和平均曲率 (H) 的基础，这两个量分别从内蕴和外在的角度深刻地刻画了曲面的几何。