遍历理论中的非均匀双曲系统的绝对连续性 1. 基本概念：稳定与不稳定流形 在遍历理论中，一个动力系统被称为双曲的，如果其相空间的每一点附近，切空间都可以分解为两个子空间：稳定子空间和不稳定子空间。稳定子空间中的向量在系统演化下会指数收缩，而不稳定子空间中的向量会指数扩张。对于非均匀双曲系统，这种收缩和扩张的速率（即李雅普诺夫指数）可以依赖于相空间中的点，而不仅仅是一个全局常数。 2. 稳定与不稳定叶状结构 对于非均匀双曲系统，通过每一点都存在局部稳定流形和局部不稳定流形。这些流形是光滑的子流形，分别与稳定和不稳定子空间相切。所有稳定流形的集合构成了系统的稳定叶状结构，所有不稳定流形的集合构成了不稳定叶状结构。这些叶状结构在局部是“几乎平行”的，但整体上可能非常复杂。 3. 绝对连续性的问题 现在考虑一个关键问题：假设我们有两个非常接近的点，它们位于不同的稳定流形上。如果我们沿着不稳定流形（即横截于稳定流形的方向）移动，从一个稳定流形跳到另一个，那么这两个点所在的不稳定流形上的局部几何和测度关系会如何变化？绝对连续性描述的就是这种横截映射的“良性”性质。 4. 绝对连续性的定义 具体来说，考虑一个小的局部邻域，它可以被视为由许多稳定流形的“叶片”和不稳定流形的“叶片”交织而成的网格。我们可以将这个邻域参数化为稳定叶片（作为“垂直”方向）和不稳定叶片（作为“水平”方向）的乘积。绝对连续性指的是：如果两个集合在横截于稳定叶状结构的方向（即沿着不稳定叶片）上具有正测度，那么它们沿着稳定叶片所“扫过”的集合的测度也应该是正的。更技术性地讲，不稳定叶状结构关于稳定叶状结构的条件测度是绝对连续的。 5. 绝对连续性的重要性 绝对连续性是证明非均匀双曲系统具有遍历性（即不可约性）和混合性等统计性质的关键工具。它确保了系统在相空间中的运动是充分“混合”的：一个点沿着其不稳定流形扩张时，能够有效地探索相空间的不同区域，而不是被限制在某个零测集内。没有绝对连续性，即使系统在无穷小尺度上是双曲的，其大尺度行为也可能不具遍历性。 6. 绝对连续性的证明思路 证明绝对连续性通常涉及对系统的线性化近似（Pesin理论）。核心思想是，虽然稳定和不稳定流形本身可能不是光滑的，但连接不同稳定流形上对应点的映射（称为霍尔莫诺夫变换或叶状结构变换）是绝对连续的。这可以通过仔细分析系统沿轨道的导数（即科西-格林函数）的渐近行为，并应用类似于拉东-尼科迪姆定理的论证来实现。