里斯表示定理的测度论形式 我们先从测度论的基本框架开始。设X是一个局部紧的豪斯多夫空间，C_ c(X)表示X上所有具有紧支撑的连续实值函数构成的空间。一个线性泛函Λ: C_ c(X) → ℝ 若满足对任意非负函数f ≥ 0都有Λ(f) ≥ 0，则称Λ为正线性泛函。 里斯表示定理的核心结论是：在X上存在一个唯一的正则博雷尔测度μ，使得对于每一个函数f ∈ C_ c(X)，线性泛函Λ(f)都可以表示为关于测度μ的积分，即Λ(f) = ∫_ X f dμ。 为了理解这个定理的证明，我们需要逐步构建起这个测度μ。关键在于如何从一个定义在连续函数上的泛函，诱导出一个定义在博雷尔集上的测度。 第一步是构造一个集函数，它定义在X的所有开子集上。对于任意开集V ⊆ X，我们定义μ(V) = sup { Λ(f) : f ∈ C_ c(X), 0 ≤ f ≤ 1, supp(f) ⊆ V }。也就是说，我们通过观察所有支撑在V内、且函数值被控制在0和1之间的连续函数在Λ下的像，来“从内部”探测开集V的“大小”。 第二步是将这个集函数扩展到X的任意子集上。对于任意集合E ⊆ X，我们定义外测度μ* (E) = inf { μ(V) : V是开集且E ⊆ V }。即，我们用所有包含E的开集的“大小”的下确界来定义E的外测度。 第三步是验证所有博雷尔集都是μ* -可测的（即满足卡拉西奥多里条件）。这一步是技术核心，它依赖于X的局部紧豪斯多夫性质以及Λ的线性性质。我们需要证明，对于任意集合A ⊆ X和任意开集U，有μ* (A) ≥ μ* (A∩U) + μ* (A\U)。证明通常需要利用单位分解等工具来构造适当的连续函数进行逼近。 第四步是证明由μ* 限制在博雷尔σ-代数上得到的测度μ是正则的。即，对于任何博雷尔集E，有μ(E) = inf { μ(V) : V开集且E ⊆ V }（外正则性），并且对于任何μ(E) < ∞的博雷尔集E，有μ(E) = sup { μ(K) : K紧集且K ⊆ E }（内正则性）。正则性的证明同样依赖于局部紧性和通过连续函数进行逼近。 最后，我们需要验证这个构造出的测度μ确实表示了泛函Λ，即对任意f ∈ C_ c(X)，有Λ(f) = ∫_ X f dμ。证明思路是将f用简单函数逼近，并利用Λ的线性性和连续性。 这个定理的重要性在于它建立了泛函分析和测度论之间的深刻联系：拓扑空间上的正线性泛函本质上就是由一个正则博雷尔测度所生成的积分。它是研究局部紧群上的哈尔测度、概率论中的拉东测度以及泛函分析中对偶空间理论的基础。