组合数学中的组合联络与平行移动

字数 2021 2025-11-28 21:09:27

组合数学中的组合联络与平行移动

我们先从直观背景开始。在组合几何或组合拓扑中，我们常常研究离散结构（如图、复形）上的“联络”（connection）概念，它类似于微分几何中流形上联络的离散版本，用来定义向量（或更一般的“纤维”数据）沿着路径的平行移动。

1. 基本设定：图与局部系数系统

考虑一个无向图 \(G=(V,E)\)，每个顶点 \(v\in V\) 上赋予一个向量空间 \(F_v\)（称为纤维），这些空间可以相同也可以不同。如果我们只是孤立地看每个顶点，那么这些纤维之间没有关联。为了比较不同顶点上的数据，我们需要一种“联络”规则。

一个局部系数系统（或局部系统）就是在每条边 \(e=\{u,v\}\) 上指定一个同构映射：

\[\phi_{e,u\to v} : F_u \to F_v \]

并且满足 \(\phi_{e,v\to u} = \phi_{e,u\to v}^{-1}\)。这相当于在每条边上给了一个线性变换，告诉我们如何将 \(F_u\) 中的向量“平移”到 \(F_v\)。

2. 组合联络的定义

更一般地，一个组合联络（combinatorial connection）是在图（或更一般的胞腔复形）的边集上指定一族变换，允许纤维空间可以不同，并且允许沿着路径移动时可能出现“非平凡性”。

具体来说，对每条有向边 \(e=(u,v)\)，给定一个线性映射：

\[\Phi_e : F_u \to F_v \]

并要求反向边 \(e'=(v,u)\) 的映射满足 \(\Phi_{e'} = \Phi_e^{-1}\)（如果可逆）。这样，对于任意一条路径 \(p = (v_0, e_1, v_1, e_2, \dots, v_k)\)，我们可以定义平行移动映射：

\[\Phi_p = \Phi_{e_k} \circ \cdots \circ \Phi_{e_1} : F_{v_0} \to F_{v_k}. \]

3. 曲率（holonomy）与平坦联络

在微分几何中，联络的非平凡性由曲率衡量。组合版本中，我们看环路（cycle）上的平行移动是否为单位映射。

设 \(C\) 是图中的一个环路（闭合路径），从顶点 \(v\) 出发回到 \(v\)，则平行移动给出一个自同态：

\[\Phi_C : F_v \to F_v. \]

如果对图中所有环路 \(C\)，都有 \(\Phi_C = \mathrm{id}_{F_v}\)，则称该联络是平坦的（flat）。

平坦联络意味着“绕任意环路一圈，向量不变”，即平移与路径无关，只依赖于端点。此时，我们实际上得到了一个局部系统。

4. 例子：图上常数纤维的平凡联络

假设每个顶点上纤维都是同一个向量空间 \(\mathbb{R}^n\)，并且每条边上的映射都是恒等映射。那么显然沿着任意路径平移都是恒等映射，这是平坦联络。

如果某条边 \(e=(u,v)\) 上映射是一个固定的非单位正交变换 \(A\)（且 \(A^{-1}\) 用于反向边），那么经过该边时向量会作变换 \(A\)。如果环路包含该边一次，则环路平移映射可能是 \(A\) 或 \(A^{-1}\)，一般不平凡。

5. 联络的等价与规范变换

两个联络 \(\Phi, \Psi\) 称为等价的，如果存在每个顶点上的自同构 \(g_v : F_v \to F_v\)，使得对所有边 \(e=(u,v)\)：

\[\Psi_e = g_v \circ \Phi_e \circ g_u^{-1}. \]

这类似于微分几何中的规范变换。等价联络具有相同的曲率性质。

6. 应用：组合线丛与离散微分几何

在离散曲面（三角剖分）上，考虑每个顶点赋予一个一维复直线 \(\mathbb{C}\)，边上的联络映射是模为 1 的复数乘法（即 \(U(1)\) 值）。这种联络在离散几何中用于定义离散微分形式、离散矢量丛上的协变导数，并可用于计算离散曲率。

例如，在三角形一条边上定义相位旋转 \(e^{i\theta}\)，绕三角形一周的平行移动合成可能给出一个非 1 的相位，这个相位就是该面（三角形）的组合曲率。

7. 与拓扑不变量的联系

给定一个图（或复形）和一个群 \(G\)（如 \(GL(n)\) 或 \(U(1)\)），一个平坦联络（局部系统）的等价类对应于从基本群 \(\pi_1(G)\) 到 \(G\) 的一个群同态（模共轭）。因此，研究平坦联络的模空间（moduli space）可得到拓扑不变量。

总结：组合联络是离散结构上定义数据平行移动的工具，曲率由环路平移的非平凡性体现，平坦联络对应平移与路径无关的情形，在离散几何、拓扑和物理离散模型中都有广泛应用。

组合数学中的组合联络与平行移动我们先从直观背景开始。在组合几何或组合拓扑中，我们常常研究离散结构（如图、复形）上的“联络”（connection）概念，它类似于微分几何中流形上联络的离散版本，用来定义向量（或更一般的“纤维”数据）沿着路径的平行移动。 1. 基本设定：图与局部系数系统考虑一个无向图 \(G=(V,E)\)，每个顶点 \(v\in V\) 上赋予一个向量空间 \(F_ v\)（称为纤维），这些空间可以相同也可以不同。如果我们只是孤立地看每个顶点，那么这些纤维之间没有关联。为了比较不同顶点上的数据，我们需要一种“联络”规则。一个局部系数系统（或局部系统）就是在每条边 \(e=\{u,v\}\) 上指定一个同构映射： \[ \phi_ {e,u\to v} : F_ u \to F_ v \] 并且满足 \(\phi_ {e,v\to u} = \phi_ {e,u\to v}^{-1}\)。这相当于在每条边上给了一个线性变换，告诉我们如何将 \(F_ u\) 中的向量“平移”到 \(F_ v\)。 2. 组合联络的定义更一般地，一个组合联络（combinatorial connection）是在图（或更一般的胞腔复形）的边集上指定一族变换，允许纤维空间可以不同，并且允许沿着路径移动时可能出现“非平凡性”。具体来说，对每条有向边 \(e=(u,v)\)，给定一个线性映射： \[ \Phi_ e : F_ u \to F_ v \] 并要求反向边 \(e'=(v,u)\) 的映射满足 \(\Phi_ {e'} = \Phi_ e^{-1}\)（如果可逆）。这样，对于任意一条路径 \(p = (v_ 0, e_ 1, v_ 1, e_ 2, \dots, v_ k)\)，我们可以定义平行移动映射： \[ \Phi_ p = \Phi_ {e_ k} \circ \cdots \circ \Phi_ {e_ 1} : F_ {v_ 0} \to F_ {v_ k}. \] 3. 曲率（holonomy）与平坦联络在微分几何中，联络的非平凡性由曲率衡量。组合版本中，我们看环路（cycle）上的平行移动是否为单位映射。设 \(C\) 是图中的一个环路（闭合路径），从顶点 \(v\) 出发回到 \(v\)，则平行移动给出一个自同态： \[ \Phi_ C : F_ v \to F_ v. \] 如果对图中所有环路 \(C\)，都有 \(\Phi_ C = \mathrm{id}_ {F_ v}\)，则称该联络是平坦的（flat）。平坦联络意味着“绕任意环路一圈，向量不变”，即平移与路径无关，只依赖于端点。此时，我们实际上得到了一个局部系统。 4. 例子：图上常数纤维的平凡联络假设每个顶点上纤维都是同一个向量空间 \(\mathbb{R}^n\)，并且每条边上的映射都是恒等映射。那么显然沿着任意路径平移都是恒等映射，这是平坦联络。如果某条边 \(e=(u,v)\) 上映射是一个固定的非单位正交变换 \(A\)（且 \(A^{-1}\) 用于反向边），那么经过该边时向量会作变换 \(A\)。如果环路包含该边一次，则环路平移映射可能是 \(A\) 或 \(A^{-1}\)，一般不平凡。 5. 联络的等价与规范变换两个联络 \(\Phi, \Psi\) 称为等价的，如果存在每个顶点上的自同构 \(g_ v : F_ v \to F_ v\)，使得对所有边 \(e=(u,v)\)： \[ \Psi_ e = g_ v \circ \Phi_ e \circ g_ u^{-1}. \] 这类似于微分几何中的规范变换。等价联络具有相同的曲率性质。 6. 应用：组合线丛与离散微分几何在离散曲面（三角剖分）上，考虑每个顶点赋予一个一维复直线 \(\mathbb{C}\)，边上的联络映射是模为 1 的复数乘法（即 \(U(1)\) 值）。这种联络在离散几何中用于定义离散微分形式、离散矢量丛上的协变导数，并可用于计算离散曲率。例如，在三角形一条边上定义相位旋转 \(e^{i\theta}\)，绕三角形一周的平行移动合成可能给出一个非 1 的相位，这个相位就是该面（三角形）的组合曲率。 7. 与拓扑不变量的联系给定一个图（或复形）和一个群 \(G\)（如 \(GL(n)\) 或 \(U(1)\)），一个平坦联络（局部系统）的等价类对应于从基本群 \(\pi_ 1(G)\) 到 \(G\) 的一个群同态（模共轭）。因此，研究平坦联络的模空间（moduli space）可得到拓扑不变量。总结：组合联络是离散结构上定义数据平行移动的工具，曲率由环路平移的非平凡性体现，平坦联络对应平移与路径无关的情形，在离散几何、拓扑和物理离散模型中都有广泛应用。