遍历理论中的非一致部分双曲系统的稳定流形定理 非一致部分双曲系统的背景 非一致部分双曲系统是动力系统中一类重要模型，其特点是系统的双曲性（即收缩与扩张方向）在不同点或不同时间尺度上非均匀分布。与一致双曲系统（如Anosov系统）不同，非一致系统的李雅普诺夫指数可能随点变化，且双曲结构的强弱可能依赖于轨道的历史。这类系统常见于光滑动力系统（如部分双曲微分同胚）或随机扰动系统。 稳定流形的定义与存在性 在非一致部分双曲系统中，稳定流形是满足以下性质的局部光滑子流形：从该流形上一点出发的轨道，其未来演化会以指数速率收敛于参考轨道的未来演化。具体地，若系统 \( f: M \to M \) 在点 \( x \) 处存在负李雅普诺夫指数（收缩方向），则存在局部嵌入子流形 \( W^s(x) \)，使得对任意 \( y \in W^s(x) \)，有 \( \limsup_ {n \to \infty} \frac{1}{n} \log d(f^n x, f^n y) < 0 \）。非一致性导致稳定流形的尺寸和光滑性可能随点变化。 非一致性的技术挑战 非一致性要求使用可测而非连续的控制工具。关键工具包括： 奥塞莱德乘性遍历定理 ：保证李雅普诺夫指数几乎处处存在，但允许其值随点变化。 缓变函数 ：存在可测函数 \( \epsilon(x) > 0 \) 和 \( K(x) > 0 \)，使得稳定流形的局部几何受 \( \epsilon(x) \) 和 \( K(x) \) 控制，且这些函数沿轨道变化缓慢（如 \( \epsilon(fx) \approx \epsilon(x) \)）。 这导致稳定流形的尺寸可能指数衰减（如 \( \sim e^{-\epsilon(x) n} \)），而非一致有界。 稳定流形定理的表述 定理：若 \( f \) 是 \( C^{1+\alpha} \) 保测变换，且其李雅普诺夫指数谱在点 \( x \) 处包含负值，则存在局部 \( C^{1+\alpha}\) 稳定流形 \( W^s(x) \)，其切空间等于相应李雅普诺夫指数的收缩子空间。流形的尺寸由可测函数 \( r(x) > 0 \) 控制，且满足 Hölder连续依赖 ：若 \( y \) 接近 \( x \)，则 \( W^s(y) \) 与 \( W^s(x) \) 在一致标度下 \( C^1 \) 接近。 非一致情形的证明思路 证明依赖 逐点线性化 技术： 通过李雅普诺夫度量在每点局部“拉直”动力学，使双曲性显式化。 使用 图迭代法 ：在每点构造近似稳定流形的图函数，通过动力学迭代修正其误差。非一致性要求迭代过程中调整收敛速率，依赖缓变函数控制误差积累。 关键引理：证明图序列的收敛性，需控制非一致参数 \( \epsilon(x) \) 的轨道和，通常利用遍历定理保证其可积性。 应用与推广 稳定流形定理是非一致双曲理论的核心工具，用于： 绝对连续性问题 ：证明稳定流形的横截条件，从而建立SRB测度的存在性。 随机系统 ：适用于随机动力系统，其中双曲性由随机过程驱动，稳定流形成为随机版本。 部分双曲系统 ：与中心流形结合，研究中心方向的受限动力学。 推广包括高光滑性（\( C^k \) 流形）及非自治系统（如斜积映射）。