平行投影的几何不变量（续） 我们继续深入探讨平行投影下保持不变的几何性质。之前已经介绍了长度比、简单比等基本不变量，现在我们将关注更复杂的几何结构在平行投影下的行为。 仿射类型的不变性 一个重要的高级概念是图形的“仿射类型”在平行投影下保持不变。这意味着，如果一个图形可以通过一个仿射变换（即平行投影的抽象推广）变成另一个图形，那么这两个图形属于相同的仿射类型。 具体例子 ：所有平行四边形（包括矩形、正方形）都属于同一仿射类型，因为它们都可以通过某个仿射变换相互转化。然而，一个椭圆和一个圆不属于同一仿射类型，因为无法通过仿射变换将一个圆变成一个一般的椭圆（平行投影会保持线段的平行性，但会改变长度比，从而将圆“拉伸”成椭圆，但反之，无法将一个椭圆“压缩”回圆而不破坏其原有的仿射结构，除非它本身就是一个圆通过仿射变换得到的）。更准确地说，所有椭圆（包括圆）属于同一仿射类型，但一个椭圆和一个双曲线则不属于。 二次曲线的仿射分类 在平行投影下，二次曲线（圆锥曲线）的类型会发生转化，但这种转化是受限的，其“仿射类别”保持不变。 核心不变量 ：一条二次曲线与无穷远直线的相对位置关系是一个重要的仿射不变量。具体来说： 椭圆 ：与无穷远直线没有实交点。 抛物线 ：与无穷远直线相切。 双曲线 ：与无穷远直线相交于两个实点。 平行投影的后果 ：由于平行投影保持平行性（即保持无穷远直线的概念），因此它不会改变一条二次曲线与无穷远直线的相交情况。这意味着，一个椭圆在任意平行投影下永远不可能变成一个抛物线或双曲线，它只能变成另一个椭圆。同样，抛物线只能变成抛物线，双曲线只能变成双曲线。这是平行投影下一个非常深刻且强大的不变量。 面积比的不变性 虽然平行投影不保持单个图形的面积，但它保持两个图形面积的比值。 解释 ：假设在同一平面上有两个图形A和B，它们的面积分别为S_ A和S_ B。对整个平面做一个平行投影，图形A和B分别变为A'和B'，面积变为S_ A'和S_ B'。那么，面积比保持不变：S_ A / S_ B = S_ A' / S_ B'。这个性质是前面提到的简单比不变性在二维面积上的推广。 应用 ：这个性质在测量和绘图中有重要应用。例如，在一张地图（可视为地面的平行投影）上，两个湖泊的面积比等于它们在实际地面上面积的比，尽管地图本身的比例尺可能不是1:1。 共点线与共线点 这是一个看似简单但基础的不变性。 共点线 ：一束相交于同一点的直线，在经过平行投影后，其投影仍然是一束相交于同一点的直线（该点的投影）。线的平行关系可能会改变（例如，从相交变成平行，如果投影方向与交点和投影平面的连线平行），但共点性本身保持不变。 共线点 ：位于同一条直线上的点，在经过平行投影后，其投影仍然位于同一条直线上。这是线性关系得以在投影下保持的基础。 理解这些更深层次的几何不变量，有助于我们分析复杂图形在投影变换下的本质特征，并在工程制图、计算机图形学和几何学研究中进行准确的推理和计算。