好的，我们开始学习一个新的几何学词条。 平行曲面的平均曲率 首先，我们来理解“平行曲面”这个概念。想象一个已知的曲面 S，我们沿着它在每一点的法向量方向，移动一个固定的距离 d，所得到的新曲面 S_ d，就称为原曲面 S 的平行曲面。 现在，我们引入“平均曲率”。对于一个曲面上的某一点，其平均曲率 H 是一个衡量该点局部“平均”弯曲程度的量。具体来说，它是两个主曲率（k1 和 k2）的算术平均值，即 H = (k1 + k2) / 2。主曲率代表了曲面在该点沿着主方向（弯曲程度最大和最小的方向）的法曲率。 接下来，我们将探讨原曲面 S 的平均曲率 H 与其平行曲面 S_ d 的平均曲率 H_ d 之间的关系。 建立关系式 ：这个关系可以通过曲面的第一基本形式和第二基本形式推导出来。一个关键的结论是，如果原曲面 S 在某点的高斯曲率为 K，平均曲率为 H，那么其平行曲面 S_ d 在该对应点的平均曲率 H_ d 满足以下公式： H_ d = (H - K d) / (1 - 2H d + K d²) 这个公式揭示了 H_ d 与 H、K 以及距离 d 之间的精确函数关系。 分析关系式的含义 ：这个公式表明，平行曲面的平均曲率并非简单地等于原曲面的平均曲率。它受到了原曲面高斯曲率 K 和偏移距离 d 的显著影响。当 d 是一个很小的值时，我们可以对公式进行线性近似，得到 H_ d ≈ H - K d，这更直观地显示了 K 对 H_ d 变化的贡献。 特殊情形：常平均曲率曲面 ：如果一个曲面 S 的平均曲率 H 是常数（即它是一个常平均曲率曲面），那么其平行曲面 S_ d 在什么情况下也能保持常平均曲率呢？根据关系式，这通常要求原曲面 S 的高斯曲率 K 也是常数。一个最重要的特例是：如果原曲面 S 本身就是一个平均曲率 H = 0 的极小曲面，并且其平行距离 d 满足 1 - 2H d + K d² = 1 + K d² ≠ 0，那么它的平行曲面 S_ d 的平均曲率 H_ d = (- K d) / (1 + K d²) 一般不再是零，除非 K=0。这表明极小曲面的平行曲面通常不再是极小曲面。 应用与意义 ：理解平行曲面的平均曲率在几何处理、计算机图形学（如曲面偏移或增厚操作）和材料科学中非常重要。它帮助我们预测当曲面在空间中“均匀膨胀或收缩”时，其整体弯曲特性将如何变化，这对于保持结构的稳定性或美学特性至关重要。