卡拉西奥多里可测性准则

我们先从最基础的概念开始。一个可测空间是一个有序对\((X, \Sigma)\)，其中\(X\)是一个集合，\(\Sigma\)是\(X\)上的一个\(\sigma\)-代数，即\(X\)的一个子集族，满足：

1. \(X \in \Sigma\)。
2. 如果\(A \in \Sigma\)，则其补集\(A^c \in \Sigma\)。
3. 如果\(\{A_n\}_{n=1}^\infty\)是\(\Sigma\)中的一列集合，则它们的可数并\(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\)也属于\(\Sigma\)。

测度\(\mu\)是定义在\(\Sigma\)上的一个函数，满足非负性和可数可加性。一个测度空间是三元组\((X, \Sigma, \mu)\)。

现在，假设我们有一个集合\(X\)，以及一个定义在\(X\)的幂集\(\mathcal{P}(X)\)上的外测度\(\mu^*\)。外测度是一个函数\(\mu^*: \mathcal{P}(X) \to [0, +\infty]\)，满足：

1. \(\mu^*(\emptyset) = 0\)。
2. （单调性）如果\(A \subseteq B\)，则\(\mu^*(A) \le \mu^*(B)\)。
3. （次可数可加性）对于任意一列子集\(\{A_n\}_{n=1}^\infty\)，有\(\mu^*(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) \le \sum_{n=1}^\infty \mu^*(A_n)\)。

我们的核心问题是：如何从任意给定的外测度\(\mu^*\)出发，构造出一个\(\sigma\)-代数\(\Sigma\)，使得\(\mu^*\)限制在\(\Sigma\)上成为一个真正的测度？卡拉西奥多里可测性准则就完美地回答了这个问题。

卡拉西奥多里可测集的定义：
一个集合\(E \subseteq X\)被称为是**\(\mu^*\)-可测的**（或满足卡拉西奥多里条件），如果对于任意集合\(A \subseteq X\)，都有以下等式成立：

\[\mu^*(A) = \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \]

这里\(E^c\)是\(E\)在\(X\)中的补集。

这个等式的直观意义是什么？它是在检验集合\(E\)是否能够“清晰地”分割任意一个测试集\(A\)。由于外测度具有次可数可加性，对于任意\(A\)和\(E\)，我们总是有：

\[\mu^*(A) \le \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \]

因此，要验证卡拉西奥多里条件，我们实际上只需要证明反向不等式：

\[\mu^*(A) \ge \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \]

这个不等式意味着，当我们用\(E\)去切割\(A\)时，\(E\)的边界是“足够规则”的，以至于不会因为这种分割而产生额外的“外测度泄漏”。集合\(E\)就像一个“刀锋锐利”的切割工具。

接下来，我们来看这个准则的核心定理。

定理（卡拉西奥多里可测性准则）：
设\(\mu^*\)是集合\(X\)上的一个外测度。记\(\mathcal{M}\)为所有\(\mu^*\)-可测集构成的集合族，即：

\[\mathcal{M} = \{ E \subseteq X : \text{对于任意} A \subseteq X, \mu^*(A) = \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \} \]

那么：

1. \(\mathcal{M}\)是\(X\)上的一个\(\sigma\)-代数。
2. \(\mu^*\)限制在\(\mathcal{M}\)上是一个完备的测度。这里的“完备”是指：如果\(\mu^*(E) = 0\)且\(F \subseteq E\)，则\(F \in \mathcal{M}\)（且显然\(\mu^*(F)=0\)）。

证明思路（关键步骤）：

1. 证明\(\mathcal{M}\)是代数：

• 显然\(\emptyset, X \in \mathcal{M}\)。
• 由定义的对称性，如果\(E \in \mathcal{M}\)，则\(E^c \in \mathcal{M}\)。
• 证明对有限并封闭：设\(E, F \in \mathcal{M}\)，要证\(E \cup F \in \mathcal{M}\)。取任意测试集\(A\)。我们可以将\(A\)分割成与\(E\)和\(F\)相关的几部分，并利用\(E\)和\(F\)的可测性，通过一系列不等式推导出\(E \cup F\)也满足卡拉西奥多里条件。

2. 证明\(\mathcal{M}\)是\(\sigma\)-代数：

• 关键在于证明\(\mathcal{M}\)对可数并不封闭。设\(\{E_n\}_{n=1}^\infty\)是\(\mathcal{M}\)中一列互不相交的集合（我们可以通过取差集来化一般为两两不交的情形）。令\(E = \bigcup_{n=1}^\infty E_n\)。
• 对任意测试集\(A\)，我们首先证明对于任意有限的\(N\)，有：

\[ \mu^*(A) \ge \sum_{n=1}^N \mu^*(A \cap E_n) + \mu^*(A \cap E^c) \]

这可以通过对\(N\)进行归纳，并利用\(E_N\)的可测性（取测试集为\(A \cap (\bigcup_{n=1}^{N} E_n)^c\)）来证明。

• 令\(N \to \infty\)，得到：

\[ \mu^*(A) \ge \sum_{n=1}^\infty \mu^*(A \cap E_n) + \mu^*(A \cap E^c) \]

• 再利用外测度的次可数可加性，有\(\sum_{n=1}^\infty \mu^*(A \cap E_n) \ge \mu^*(A \cap E)\)。结合上式，我们得到：

\[ \mu^*(A) \ge \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c) \]

反向不等式总是成立，故等式成立，\(E \in \mathcal{M}\)。

3. 证明\(\mu^*|_\mathcal{M}\)是测度：

• 在上面证明中，如果我们取\(A = E\)，那么不等式变为：

\[ \mu^*(E) \ge \sum_{n=1}^\infty \mu^*(E_n) \]

    而次可数可加性给出反向不等式，所以有：

\[ \mu^*(E) = \sum_{n=1}^\infty \mu^*(E_n) \]

    这正是测度的可数可加性。

4. 证明完备性：

• 设\(E \in \mathcal{M}\)且\(\mu^*(E)=0\)。对于任意\(F \subseteq E\)，有\(\mu^*(F)=0\)。现在对任意测试集\(A\)，有：

\[ \mu^*(A \cap F) + \mu^*(A \cap F^c) \le 0 + \mu^*(A) = \mu^*(A) \]

反向不等式由次可数可加性保证，故\(F \in \mathcal{M}\)。

重要意义与应用：
卡拉西奥多里准则的重要性在于它提供了一个从外测度构造测度的通用方法。

1. 勒贝格测度的构造：这是最经典的应用。在\(\mathbb{R}^n\)上，我们首先定义区间\(I\)的体积\(|I|\)，然后对任意集合\(A \subseteq \mathbb{R}^n\)，定义其勒贝格外测度为：

\[ m^*(A) = \inf \{ \sum_{j=1}^\infty |I_j| : A \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty I_j \} \]

然后应用卡拉西奥多里准则，所有\(m^*\)-可测集构成的\(\sigma\)-代数就是勒贝格可测集族，\(m^*\)限制在其上就是勒贝格测度。可以证明，所有的博雷尔集都是勒贝格可测的。
2. 推广到其他测度：此方法同样适用于构造勒贝格-斯蒂尔杰斯测度、豪斯多夫测度等。只要你能合理地定义一个外测度，卡拉西奥多里准则就能为你生成一个与之配套的、性质良好的测度空间。
3. 理论基石：它是测度论公理化体系中的一个核心结果，连接了外测度（一种相对容易构造的、定义在所有子集上的集函数）和测度（一种具有良好可加性的、定义在\(\sigma\)-代数上的集函数）。

总结来说，卡拉西奥多里可测性准则是一个强大而优美的工具，它通过一个简洁的条件，从可能“行为不端”的外测度中筛选出那些构成一个良好测度空间的可测集，是实变函数和测度论中许多构造的基石。