复变函数的格罗滕迪克-奥伊勒常数 我们先从基本概念开始。格罗滕迪克-奥伊勒常数（Grothendieck-Oeuler constant）是复变函数论中一个与解析函数的渐近行为和奇点结构相关的特征常数。它最初出现在全纯函数在奇异点附近的渐近展开研究中，特别是与函数在自然边界上的行为有关。 为了理解这个常数，我们需要先明确几个关键概念。考虑一个在原点某邻域内全纯的函数f(z)，其泰勒展开为∑aₙzⁿ。假设该函数有自然边界（如单位圆周），那么函数在边界上的奇异行为可以通过其泰勒系数的渐近性质来刻画。格罗滕迪克-奥伊勒常数γ_ G就是描述这种奇异行为强度的一个量化指标。 具体计算方法是：通过函数的哈代空间范数与其伯格曼核的渐近比较来定义。设D是单位开圆盘，f∈H²(D)，则γ_ G可定义为limsup_ {r→1⁻}(1-r)lnM(r,f)，其中M(r,f)=max_ {|z|=r}|f(z)|。这个极限值反映了函数在边界附近的最大模增长速率。 更深入地，该常数与函数的欧拉-麦克劳林型渐近公式有密切联系。当函数在边界上有极点或本性奇点时，γ_ G的值会呈现特定规律。例如，对于有极点的有理型函数，γ_ G通常为有理数；而对于有本性奇点的超越整函数，γ_ G可能为无理数甚至超越数。 该常数的一个重要性質是其在解析延拓下的不变性。如果两个函数可以通过解析延拓相互转换，那么它们具有相同的格罗滕迪克-奥伊勒常数。这使它成为刻画函数解析本质的一个不变量。 在应用方面，该常数在值分布理论中用于精细刻画函数的增长级，在动力系统理论中用于描述茹利亚集的豪斯多夫维数，在数论中还与某些L-函数的特殊值存在关联。