博雷尔-σ-代数的强可测性与佩蒂斯可积性的关系 我们先从佩蒂斯可积性的定义开始。设 \( (X, \mathcal{F}, \mu) \) 是一个测度空间，\( B \) 是一个巴拿赫空间。一个函数 \( f: X \to B \) 称为佩蒂斯可积的，如果存在一个函数 \( g: X \to B \) 满足：对每个连续线性泛函 \( x^* \in B^* \)，复合函数 \( x^* \circ f \) 是勒贝格可积的，并且对每个可测集 \( E \in \mathcal{F} \)，存在一个向量 \( \int_ E f \, d\mu \in B \) 使得对一切 \( x^* \in B^* \) 有 \[ x^ \left( \int_ E f \, d\mu \right) = \int_ E x^ (f) \, d\mu. \] 这里的关键是，积分值 \( \int_ E f \, d\mu \) 由对偶关系唯一确定。 现在考虑强可测性。一个函数 \( f: X \to B \) 是强可测的，如果存在一列简单函数（取有限个值的可测函数）\( f_ n: X \to B \) 使得 \( f_ n \to f \) 几乎处处。强可测性等价于 \( f \) 是博雷尔可测的（即对 \( B \) 的博雷尔 σ-代数可测）且具有可分值域（即 \( f(X) \) 包含在一个可分的闭子空间内）。 佩蒂斯可积性要求 \( f \) 是弱可测的（即对每个 \( x^* \in B^* \)，\( x^ (f) \) 是标量值可测函数）且 \( x^ (f) \) 对每个 \( x^* \) 是勒贝格可积的。但强可测性提供了更强的条件：如果 \( f \) 是强可测的，则 \( \|f(\cdot)\|_ B \) 是可测函数，这允许我们控制函数的范数。 佩蒂斯可积性与强可测性的关系由佩蒂斯可测性定理描述：若 \( B \) 是可分的，则强可测性等价于弱可测性。但在一般巴拿赫空间中，强可测性严格强于弱可测性。对于佩蒂斯可积性，如果 \( f \) 是强可测的且 \( x^ (f) \) 对每个 \( x^ \) 可积，这还不足以保证佩蒂斯可积性；还需要积分算子 \( x^* \mapsto \int_ E x^ (f) \, d\mu \) 在 \( B^ \) 上连续（即由 \( B \) 的某个元素表示），这等价于要求 \( f \) 是佩蒂斯可积的。 一个关键结果是：如果 \( f \) 是强可测的且 \( \|f(\cdot)\|_ B \) 是博赫纳可积的（即强可积），则 \( f \) 必然是佩蒂斯可积的，且佩蒂斯积分与博赫纳积分一致。但反之不一定成立：存在佩蒂斯可积函数不是强可测的（例如在非可分空间中的函数）。因此，强可测性是佩蒂斯可积性的一个充分但非必要条件，当与范数的可积性结合时，它能推出更强的博赫纳可积性。