勒让德多项式 勒让德多项式是数学物理方程中一类重要的特殊函数，尤其在球坐标系下求解拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等问题时扮演核心角色。它得名于法国数学家阿德里安-马里·勒让德。 1. 起源：拉普拉斯方程在球坐标下的分离变量 考虑三维拉普拉斯方程 ∇²φ = 0。在球坐标系 (r, θ, φ) 中，通过分离变量法，设解的形式为 φ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)。代入方程后，关于角度θ的部分会导出一个微分方程： (1/sinθ) d/dθ [ sinθ dΘ/dθ] + [ l(l+1) - m²/sin²θ ] Θ = 0。 当问题具有轴对称性（即解与方位角φ无关，m=0）时，该方程简化为 勒让德方程 ： (1/sinθ) d/dθ [ sinθ dΘ/dθ ] + l(l+1) Θ = 0。 通过变量代换 x = cosθ (其中 x ∈ [ -1, 1 ])，上述方程可化为更标准的形式： d/dx [ (1-x²) dy/dx ] + l(l+1) y = 0。 这个方程的解就是勒让德多项式。 2. 多项式的具体形式：罗德里格公式 勒让德方程在区间[ -1, 1]上有解的条件是参数 l 取非负整数（l = 0, 1, 2, ...）。此时，其解是一个l次多项式，称为l阶勒让德多项式，记作 P_ l(x)。它可以通过一个非常简洁的 罗德里格公式 给出： P_ l(x) = (1/(2^l l!)) d^l/dx^l [ (x² - 1)^l ]。 这个公式直接给出了多项式每一项的系数。 3. 前几项勒让德多项式 利用罗德里格公式，可以轻松写出前几个勒让德多项式： P₀(x) = 1 P₁(x) = x P₂(x) = (3x² - 1)/2 P₃(x) = (5x³ - 3x)/2 P₄(x) = (35x⁴ - 30x² + 3)/8 这些多项式在区间[ -1, 1]上图像具有振荡特性，并且 P_ l(1) = 1 对所有 l 成立。 4. 正交性与归一化 勒让德多项式在区间[ -1, 1]上关于常数权函数构成一个 正交函数系 。其正交关系为： ∫ {-1}^{1} P_ m(x) P_ n(x) dx = 0, 当 m ≠ n。 当 m = n 时，其模方为： ∫ {-1}^{1} [ P_ l(x) ]² dx = 2/(2l+1)。 这个性质极其重要，因为它允许我们将定义在[ -1, 1 ]上的函数展开成勒让德多项式的级数（即傅里叶-勒让德级数），类似于傅里叶级数展开。 5. 生成函数 勒让德多项式可以通过一个 生成函数 来定义： 1/√(1 - 2xt + t²) = Σ_ {l=0}^{∞} P_ l(x) t^l, (|t| < 1)。 这个公式表明，当把左边函数按t的幂级数展开时，t^l的系数正好是P_ l(x)。生成函数在证明勒让德多项式的许多性质（如递推关系）时非常有用。 6. 递推关系 勒让德多项式满足一系列递推关系，这些关系将不同阶的多项式联系起来，在数值计算和理论推导中十分方便。一个常见的递推关系是： (l+1)P_ {l+1}(x) = (2l+1)xP_ l(x) - lP_ {l-1}(x)。 利用这个关系，可以从P₀(x)和P₁(x)出发，计算出任意高阶的勒让德多项式。 7. 应用举例：球坐标系中的电势 在静电学中，求解拉普拉斯方程以确定空间电势分布是一个经典问题。对于一个轴对称系统（如一个均匀带电环），电势解可以表示为： φ(r, θ) = Σ_ {l=0}^{∞} [ A_ l r^l + B_ l r^{-(l+1)}] P_ l(cosθ)。 系数A_ l和B_ l由具体的边界条件（如导体表面的电势）确定。勒让德多项式的正交性正是用来确定这些系数的关键工具。