模形式的西格尔模形式 我们先从模形式的推广开始。模形式是定义在上半平面并满足特定函数方程和解析性质的函数，它们可以视为一种“对称性”的体现。西格尔模形式是将这一概念推广到多个复变量的情形，即定义在多个复变量构成的上半平面（西格尔上半空间）上的函数。 第一步：西格尔上半空间 设 \( g \) 是一个正整数，表示“阶”。西格尔上半空间 \( \mathbb{H}_ g \) 由所有 \( g \times g \) 对称复矩阵 \( Z \) 组成，且满足 \( \text{Im}(Z) \) 是正定的。当 \( g = 1 \) 时，\( \mathbb{H}_ 1 \) 就是通常的上半平面 \( \{ \tau \in \mathbb{C} \mid \text{Im}(\tau) > 0 \} \)。当 \( g > 1 \) 时，\( Z \) 是一个矩阵变量，例如 \( g = 2 \) 时，\( Z = \begin{pmatrix} \tau & z \\ z & \tau' \end{pmatrix} \)，其中 \( \text{Im}(Z) \) 正定。 第二步：西格尔模群 西格尔模群 \( \Gamma_ g = \text{Sp}(2g, \mathbb{Z}) \) 是 \( 2g \times 2g \) 的整数矩阵，满足 \( M^t J M = J \)，其中 \( J = \begin{pmatrix} 0 & I_ g \\ -I_ g & 0 \end{pmatrix} \)。这个群作用在西格尔上半空间上：若 \( M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \in \Gamma_ g \)，则作用为 \( M \cdot Z = (A Z + B)(C Z + D)^{-1} \)。这个作用是模形式函数方程的基础。 第三步：西格尔模形式的定义 一个权为 \( k \)（整数）的西格尔模形式是 \( \mathbb{H}_ g \) 上的全纯函数 \( F(Z) \)，满足以下条件： 函数方程 ：对任意 \( M \in \Gamma_ g \)，有 \( F(M \cdot Z) = \det(C Z + D)^k F(Z) \)。 全纯性 ：当 \( g = 1 \) 时，还需在尖点处全纯；当 \( g > 1 \) 时，柯西-黎曼条件自动保证有界性（Koecher原理）。 若 \( g > 1 \)，西格尔模形式还有“尖点形式”的概念，即傅里叶展开中常数项为零。 第四步：傅里叶展开 西格尔模形式具有傅里叶展开：\( F(Z) = \sum_ {T \geq 0} a(T) \exp(2 \pi i \, \text{Tr}(T Z)) \)，其中 \( T \) 跑遍所有半正定的对称整数矩阵（\( g \times g \)），\( \text{Tr} \) 是矩阵的迹。展开式反映了模形式的周期性（对 \( Z \mapsto Z + S \)，\( S \) 对称整数矩阵）。 第五步：西格尔模形式的例子 西格尔艾森斯坦级数 ：通过平均 \( \det(C Z + D)^{-k} \) 构造，是西格尔模形式的基本例子。 西格尔尖点形式 ：例如在 \( g = 2 \) 时，由经典模形式通过提升构造（如Saito-Kurokawa提升）。 第六步：西格尔模形式的应用 西格尔模形式在数论中有广泛应用： 二次型的表数问题 ：生成函数 \( \sum_ {T} r(T) \exp(2 \pi i \, \text{Tr}(T Z)) \)（其中 \( r(T) \) 是表示数）往往是西格尔模形式。 自守表示 ：西格尔模形式与辛群的自守表示相关，是朗兰兹纲领的一部分。 特殊值 ：其L函数的特殊值与算术几何对象（如阿贝尔簇）相关。 第七步：进一步推广 西格尔模形式可推广到其他李群（如酉群、正交群）对应的对称空间上，称为自守形式，这是现代数论的核心课题之一。