索末菲-库默尔函数的威格纳-史密斯延迟时间矩阵的谱分解分析（续二十七） 在之前的讨论中，我们详细分析了威格纳-史密斯（Wigner-Smith）延迟时间矩阵的谱分解结构，特别是其特征值分布与系统散射特性的关联。本部分将聚焦于该矩阵在 非均匀波导系统 中的具体应用，并探讨其谱分解如何揭示系统的 局域延迟时间 与 能量输运效率 之间的关系。 1. 非均匀波导系统的建模 考虑一个一维非均匀波导，其折射率分布为 \( n(x) \)，系统长度 \( L \)。量子或波动方程可写为： \[ \left[ -\frac{d^2}{dx^2} + V(x) \right ] \psi(x) = E \psi(x), \] 其中 \( V(x) \propto n(x)^2 \) 为等效势能。系统的散射矩阵 \( S(E) \) 关联入射波与出射波振幅。威格纳-史密斯延迟时间矩阵定义为： \[ Q(E) = -i \hbar S^{-1} \frac{\partial S}{\partial E}, \] 其本征值 \( \tau_ i \) 表示第 \( i \) 个散射通道的群延迟时间。 2. 谱分解与局域延迟时间 在非均匀系统中，\( Q \) 的谱分解可通过本征值问题 \( Q \phi_ i = \tau_ i \phi_ i \) 实现。每个本征态 \( \phi_ i \) 对应一个“延迟模式”，其本征值 \( \tau_ i \) 表示该模式在系统中的平均停留时间。关键点在于： 局域延迟时间 \( \tau(x) \) 可通过本征态展开： \[ \tau(x) = \sum_ i \tau_ i |\phi_ i(x)|^2, \] 其中 \( \phi_ i(x) \) 是 \( \phi_ i \) 在坐标空间的表示。这反映了不同空间位置对延迟时间的贡献。 3. 能量输运效率的量化 能量输运效率可通过延迟时间分布与透射系数的关联来量化。定义系统的 总透射系数 \( T(E) = \sum_ j |S_ {ij}|^2 \)。谱分解揭示： 若延迟时间本征值 \( \tau_ i \) 分布集中（小方差），表明能量输运均匀，效率较高； 若 \( \tau_ i \) 分布分散（大方差），存在某些模式被强烈延迟，导致能量局域化，效率降低。 4. 示例：周期调制波导 假设 \( V(x) = V_ 0 \cos(2\pi x / a) \)，此时系统具有带隙结构。通过数值求解 \( Q \) 的谱分解可发现： 在带隙边缘，某些 \( \tau_ i \) 显著增大，对应模式在周期结构中被布拉格反射延迟； 在通带内，\( \tau_ i \) 分布较窄，输运效率高。 5. 与局域化长度的关联 进一步，延迟时间方差 \( \text{Var}(\tau) \) 可与安德森局域化长度 \( \xi \) 建立联系： \[ \text{Var}(\tau) \propto \xi^{-1}, \] 表明延迟时间分布越分散，系统局域化越强，输运效率越低。 通过以上分析，威格纳-史密斯矩阵的谱分解提供了从延迟时间角度理解非均匀系统中能量输运特性的有力工具。