模形式的L-函数与朗兰兹纲领的算术几何解释 我们首先回顾模形式L-函数的基本定义。设f是一个权为k、级为N的模形式，其傅里叶展开为f(z)=∑a_ n q^n（q=e^(2πiz)）。对应的L-函数定义为L(f,s)=∑a_ n n^{-s}，在Re(s)>k/2+1时绝对收敛。 这个L-函数可以解析延拓到整个复平面，并满足函数方程。具体来说，完备L-函数Λ(f,s)=N^(s/2)(2π)^{-s}Γ(s)L(f,s)满足Λ(f,s)=εΛ(f,k-s)，其中ε=±1是f的符号。 在朗兰兹纲领的框架下，每个模形式f对应一个自守表示π_ f。根据朗兰兹对应，这个自守表示应该与某个伽罗瓦表示ρ_ f: Gal(ℚ̅/ℚ)→GL_ 2(ℂ)相关联。这个对应预测L(f,s)等于伽罗瓦表示ρ_ f的L-函数L(ρ_ f,s)。 从算术几何的角度，这个对应有深刻的解释。当f是权为2的新形式时，根据谷山-志村猜想（现在已证明），存在一条椭圆曲线E_ f/ℚ，使得L(f,s)=L(E_ f,s)。这里L(E_ f,s)是椭圆曲线的Hasse-Weil L-函数。 更一般地，对于更高权的模形式，朗兰兹纲领预测它们应该对应于 motives。一个 motive 是代数簇上同调理论的抽象推广。模形式f对应的 motive M_ f 应该满足L(M_ f,s)=L(f,s)。 这种对应的算术几何意义在于：模形式f的傅里叶系数a_ p（p为素数）编码了 motive M_ f 在素数p处的算术信息。具体来说，a_ p等于Frobenius自同构在M_ f的l进实化上作用的迹。 朗兰兹函子性猜想进一步预测，不同群之间的L-函数关系对应于 motives 之间的几何关系。例如，两个模形式f和g的L-函数张量积L(f×g,s)应该对应于 motive M_ f⊗M_ g 的L-函数。 这种算术几何解释为理解模形式L-函数的特殊值提供了框架。BSD猜想和Bloch-Kato猜想等都将L-函数在中心点的特殊值与 motive 的算术不变量（如Selmer群和Tate-Shafarevich群）联系起来。 朗兰兹纲领的几何化版本（几何朗兰兹纲领）进一步将这种对应推广到函数域情形，并建立了与规范场论和量子场论的深刻联系，但这已超出本词条的讨论范围。