数学课程设计中的数学守恒概念发展 数学守恒概念是儿童数学思维发展的关键里程碑，指的是个体能够理解物体的某种属性（如数量、长度、面积、体积等）不会因其外观排列或形状的改变而发生变化。在课程设计中，系统地发展学生的守恒概念，是培养其逻辑思维和可逆性思维能力的重要基础。 第一步：理解守恒概念的基本内涵与心理基础 核心定义 ：数学守恒是指对“量”的恒定性的内在信念。例如，在数量守恒中，学生能理解将一排紧密排列的硬币分散开，其数量并不改变，尽管看起来“变多了”。 心理基础 ：这一概念的发展与皮亚杰的认知发展理论密切相关。它标志着儿童从前运算思维向具体运算思维的过渡。学生需要超越知觉的束缚，能够进行心理操作，理解变化中的不变性。其心理机制主要包括： 同一性 ：认识到物体未被添加或移除，因此总量不变。 可逆性 ：能够在心理上逆转操作，意识到分散的硬币可以重新排回紧密状态。 补偿关系 ：理解一个维度的变化（如长度增加）可以被另一个维度的变化（如宽度变窄）所补偿（如在面积守恒中）。 第二步：识别守恒概念的主要类型与发展顺序 在课程设计中，应遵循学生认知发展的自然顺序，循序渐进地引入不同类型的守恒。 数量守恒（约6-7岁） ：最早出现。关注离散物体的个数不因排列方式改变而变化。 长度守恒 ：理解一根绳子的长度不因其被弯曲或拉直而改变。 液体量守恒 ：认识到将等量的水倒入不同形状的容器中，水的总量不变。 面积守恒 ：理解一张纸被撕成几片后，其总面积总和不变。 重量守恒 ：知道一团橡皮泥的形状改变后，其重量不变。 体积守恒（最晚，约11-12岁） ：理解物体浸入水中排开的水量不因物体形状改变而变。 第三步：设计针对守恒概念发展的诊断性前测 在进行教学前，教师需要通过设计非正式的情境来诊断学生当前的守恒概念水平。 方法 ：采用“预测-观察-解释”的访谈模式。 示例（数量守恒） ：将7颗棋子排成紧密的一排，在另一排对应位置也放7颗，让学生确认数量相同。然后，当着他的面将其中一排的棋子间距拉大。 提问 ：“现在这两排棋子一样多吗？还是哪一排更多？为什么？” 分析学生反应 ： 非守恒者 ：会依据知觉（哪排“看起来”更长）判断，认为更长的一排更多。 过渡期学生 ：可能犹豫，或给出错误判断但解释时提及“你只是把它们分开了”。 守恒者 ：能坚定判断数量相同，并给出基于同一性、可逆性或补偿关系的合理解释。 第四步：构建促进守恒概念发展的教学活动序列 课程设计应包含一系列精心编排的活动，引导学生从非守恒思维向守恒思维过渡。 创设认知冲突 ：设计活动让学生基于知觉的判断与实际情况产生矛盾。 活动示例 ：让学生预估将一杯水倒入一个高而细的量筒后，水位会到哪里。然后实际操作，结果与预估不符，引发思考：“水变多了吗？” 提供操作与体验 ：让学生亲自动手，通过物理操作内化心理操作。 活动示例（面积守恒） ：给每个学生两张一样大的纸。一张保持完整，另一张剪成几块，然后拼成另一种形状。问：“这两张纸的面积还一样大吗？”让学生通过重叠等方式验证。 鼓励社会性建构与讨论 ：组织小组讨论，让不同思维水平的学生交流观点。 活动示例 ：在液体量守恒实验中，让持不同意见的学生（一个认为细高杯子里水多，一个认为一样多）陈述理由，通过辩论促使学生反思自己的思维。 运用语言支架 ：教师使用精确的语言引导学生关注量的属性而非知觉外观。 提问策略 ：“你是怎么看出来的？”“在变化之前，它们是什么关系？”“如果我们把它变回去，会怎么样？”这些提问暗示了同一性和可逆性。 第五步：将守恒概念整合于后续数学学习并持续评估 守恒概念是许多数学概念的基础，课程设计需注重其纵向联系与应用。 与后续知识的整合 ： 数与运算 ：理解“=”的意义（等价、守恒），知道3+4与4+3都等于7，和不变。 测量 ：理解测量的本质是确定一个量是单位量的多少倍，这个倍数是守恒的。 几何 ：为学习等积变形、平面图形面积公式推导（如平行四边形割补成长方形）打下基础。 持续性评估 ：在教学的其他环节（如解决实际问题时）观察学生是否能在新情境中自发运用守恒思想，这标志着概念的真正内化。 通过以上五个步骤的系统课程设计，学生不仅能掌握“守恒”这一具体概念，更能逐步发展起超越表面现象、抓住数学本质的抽象逻辑思维能力。