量子力学中的谱映射定理

字数 2483 2025-11-27 20:25:31

量子力学中的谱映射定理

我们先从线性代数中的矩阵函数概念开始。设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 矩阵，其特征值为 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\)。对于一个给定的函数 \(f\)（例如多项式、指数函数），矩阵函数 \(f(A)\) 可以通过将 \(A\) 对角化来定义：若 \(A = PDP^{-1}\)，其中 \(D\) 是对角矩阵，对角线元素为 \(\lambda_i\)，则 \(f(A) = P f(D) P^{-1}\)，而 \(f(D)\) 是一个对角矩阵，其对角线元素为 \(f(\lambda_i)\)。这里蕴含了一个核心思想：矩阵 \(A\) 的谱（即其特征值的集合）通过函数 \(f\) 被映射为矩阵 \(f(A)\) 的谱，即 \(f(A)\) 的特征值是 \(f(\lambda_1), \dots, f(\lambda_n)\)。这就是谱映射定理在有限维空间中的雏形。

在量子力学中，系统的可观测量由希尔伯特空间上的（通常是无穷维的）自伴算子表示。算子的“谱”是其特征值概念的推广。对于一个算子 \(A\)，复数 \(\lambda\) 属于其谱 \(\sigma(A)\)，当且仅当算子 \((A - \lambda I)\) 没有有界的逆算子。谱可以分为点谱（特征值）、连续谱和剩余谱。谱映射定理旨在描述，对于一个给定的函数 \(f\)，算子 \(f(A)\) 的谱 \(\sigma(f(A))\) 与算子 \(A\) 的谱 \(\sigma(A)\) 之间的关系。

为了严谨地定义算子函数 \(f(A)\)，我们需要使用函数演算。对于连续函数 \(f\)，我们可以通过连续函数演算来定义 \(f(A)\)。具体而言，若 \(A\) 是定义在希尔伯特空间 \(\mathcal{H}\) 上的有界自伴算子，其谱 \(\sigma(A)\) 是实数轴上的一个紧集。根据Gelfand-Naimark定理（您已学过），存在一个从 \(C(\sigma(A))\)（\(\sigma(A)\) 上的连续复值函数代数）到 \(\mathcal{B}(\mathcal{H})\)（\(\mathcal{H}\) 上的有界算子代数）的等距*-同态映射 \(\Phi\)，使得 \(\Phi(1) = I\)（恒等算子）且 \(\Phi(\text{id}) = A\)（其中 \(\text{id}(x) = x\)）。我们将 \(f(A)\) 定义为 \(\Phi(f)\)。这个定义将函数的代数运算（加、乘、标量乘、共轭）对应地转化为算子的相应运算。

现在，我们可以陈述谱映射定理的核心内容。对于有界自伴算子 \(A\) 和连续函数 \(f: \sigma(A) \to \mathbb{C}\)，谱映射定理指出：

\[\sigma(f(A)) = f(\sigma(A)) \]

其中，右边表示集合 \(\{ f(\lambda) : \lambda \in \sigma(A) \}\)。这意味着，算子 \(f(A)\) 的谱恰好是函数 \(f\) 作用在算子 \(A\) 的谱上得到的像集。例如，若 \(f(x) = x^2\)，则 \(\sigma(A^2) = \{ \lambda^2 : \lambda \in \sigma(A) \}\)。这个定理保证了通过连续函数演算定义的算子，其谱由原算子的谱通过该函数完全决定。

谱映射定理可以推广到更一般的函数类（如Borel函数）和无界算子。对于无界自伴算子 \(A\)，其谱可能无界，我们使用博雷尔函数演算来定义 \(f(A)\)，其中 \(f\) 是一个博雷尔函数。此时的谱映射定理形式更为复杂，通常表述为：对于博雷尔函数 \(f\)，有 \(\sigma(f(A))\) 是 \(f(\sigma(A))\) 的闭包，即 \(\sigma(f(A)) = \overline{f(\sigma(A))}\)。当 \(f\) 是连续的，并且我们考虑的是 \(\sigma(A)\) 在 \(f\) 下的像时，由于 \(\sigma(A)\) 是闭集，若 \(f\) 是实值函数，则 \(f(\sigma(A))\) 不一定是闭集，所以需要取闭包以确保等式成立。在量子力学的许多具体应用中，\(f\) 是连续函数，且 \(f(\sigma(A))\) 本身就是闭集，定理就简化为 \(\sigma(f(A)) = f(\sigma(A))\)。

在量子力学中，谱映射定理是分析系统演化及其不变量的基础工具。例如，系统的哈密顿量 \(H\) 是一个自伴算子。时间演化算子 \(U(t) = e^{-iHt/\hbar}\) 就是函数 \(f(\lambda) = e^{-i\lambda t/\hbar}\) 作用于 \(H\) 的结果，即 \(U(t) = f(H)\)。根据谱映射定理，时间演化算子的谱 \(\sigma(U(t))\) 是单位圆上的子集，因为 \(f(\sigma(H)) = \{ e^{-i\lambda t/\hbar} : \lambda \in \sigma(H) \}\)。这保证了时间演化是酉性的。另一个关键应用是，若一个可观测量 \(A\) 是守恒量，即与哈密顿量对易 \([A, H] = 0\)，那么它们可以被同一个函数演算处理，并且它们的谱之间存在由守恒律约束的关联，谱映射定理帮助分析这种关联导致的系统对称性和简并度。

量子力学中的谱映射定理我们先从线性代数中的矩阵函数概念开始。设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，其特征值为 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2, \dots, \lambda_ n \)。对于一个给定的函数 \( f \)（例如多项式、指数函数），矩阵函数 \( f(A) \) 可以通过将 \( A \) 对角化来定义：若 \( A = PDP^{-1} \)，其中 \( D \) 是对角矩阵，对角线元素为 \( \lambda_ i \)，则 \( f(A) = P f(D) P^{-1} \)，而 \( f(D) \) 是一个对角矩阵，其对角线元素为 \( f(\lambda_ i) \)。这里蕴含了一个核心思想：矩阵 \( A \) 的谱（即其特征值的集合）通过函数 \( f \) 被映射为矩阵 \( f(A) \) 的谱，即 \( f(A) \) 的特征值是 \( f(\lambda_ 1), \dots, f(\lambda_ n) \)。这就是谱映射定理在有限维空间中的雏形。在量子力学中，系统的可观测量由希尔伯特空间上的（通常是无穷维的）自伴算子表示。算子的“谱”是其特征值概念的推广。对于一个算子 \( A \)，复数 \( \lambda \) 属于其谱 \( \sigma(A) \)，当且仅当算子 \( (A - \lambda I) \) 没有有界的逆算子。谱可以分为点谱（特征值）、连续谱和剩余谱。谱映射定理旨在描述，对于一个给定的函数 \( f \)，算子 \( f(A) \) 的谱 \( \sigma(f(A)) \) 与算子 \( A \) 的谱 \( \sigma(A) \) 之间的关系。为了严谨地定义算子函数 \( f(A) \)，我们需要使用函数演算。对于连续函数 \( f \)，我们可以通过连续函数演算来定义 \( f(A) \)。具体而言，若 \( A \) 是定义在希尔伯特空间 \( \mathcal{H} \) 上的有界自伴算子，其谱 \( \sigma(A) \) 是实数轴上的一个紧集。根据 Gelfand-Naimark定理（您已学过），存在一个从 \( C(\sigma(A)) \)（\( \sigma(A) \) 上的连续复值函数代数）到 \( \mathcal{B}(\mathcal{H}) \)（\( \mathcal{H} \) 上的有界算子代数）的等距* -同态映射 \( \Phi \)，使得 \( \Phi(1) = I \)（恒等算子）且 \( \Phi(\text{id}) = A \)（其中 \( \text{id}(x) = x \)）。我们将 \( f(A) \) 定义为 \( \Phi(f) \)。这个定义将函数的代数运算（加、乘、标量乘、共轭）对应地转化为算子的相应运算。现在，我们可以陈述谱映射定理的核心内容。对于有界自伴算子 \( A \) 和连续函数 \( f: \sigma(A) \to \mathbb{C} \)，谱映射定理指出： \[ \sigma(f(A)) = f(\sigma(A)) \] 其中，右边表示集合 \( \{ f(\lambda) : \lambda \in \sigma(A) \} \)。这意味着，算子 \( f(A) \) 的谱恰好是函数 \( f \) 作用在算子 \( A \) 的谱上得到的像集。例如，若 \( f(x) = x^2 \)，则 \( \sigma(A^2) = \{ \lambda^2 : \lambda \in \sigma(A) \} \)。这个定理保证了通过连续函数演算定义的算子，其谱由原算子的谱通过该函数完全决定。谱映射定理可以推广到更一般的函数类（如Borel函数）和无界算子。对于无界自伴算子 \( A \)，其谱可能无界，我们使用博雷尔函数演算来定义 \( f(A) \)，其中 \( f \) 是一个博雷尔函数。此时的谱映射定理形式更为复杂，通常表述为：对于博雷尔函数 \( f \)，有 \( \sigma(f(A)) \) 是 \( f(\sigma(A)) \) 的闭包，即 \( \sigma(f(A)) = \overline{f(\sigma(A))} \)。当 \( f \) 是连续的，并且我们考虑的是 \( \sigma(A) \) 在 \( f \) 下的像时，由于 \( \sigma(A) \) 是闭集，若 \( f \) 是实值函数，则 \( f(\sigma(A)) \) 不一定是闭集，所以需要取闭包以确保等式成立。在量子力学的许多具体应用中，\( f \) 是连续函数，且 \( f(\sigma(A)) \) 本身就是闭集，定理就简化为 \( \sigma(f(A)) = f(\sigma(A)) \)。在量子力学中，谱映射定理是分析系统演化及其不变量的基础工具。例如，系统的哈密顿量 \( H \) 是一个自伴算子。时间演化算子 \( U(t) = e^{-iHt/\hbar} \) 就是函数 \( f(\lambda) = e^{-i\lambda t/\hbar} \) 作用于 \( H \) 的结果，即 \( U(t) = f(H) \)。根据谱映射定理，时间演化算子的谱 \( \sigma(U(t)) \) 是单位圆上的子集，因为 \( f(\sigma(H)) = \{ e^{-i\lambda t/\hbar} : \lambda \in \sigma(H) \} \)。这保证了时间演化是酉性的。另一个关键应用是，若一个可观测量 \( A \) 是守恒量，即与哈密顿量对易 \( [ A, H ] = 0 \)，那么它们可以被同一个函数演算处理，并且它们的谱之间存在由守恒律约束的关联，谱映射定理帮助分析这种关联导致的系统对称性和简并度。