复变函数的洛朗级数展开与渐近级数 我们先从洛朗级数的基本概念开始。洛朗级数是复变函数在孤立奇点（如极点或本性奇点）附近的一种幂级数表示。与泰勒级数（仅包含非负幂次项）不同，洛朗级数可以包含负幂次项，其一般形式为： \[ f(z) = \sum_ {n=-\infty}^{\infty} a_ n (z - z_ 0)^n, \] 其中系数 \( a_ n \) 由积分公式 \( a_ n = \frac{1}{2\pi i} \oint_ C \frac{f(z)}{(z - z_ 0)^{n+1}} \, dz \) 给出，积分路径 \( C \) 是围绕奇点 \( z_ 0 \) 的简单闭曲线。例如，函数 \( f(z) = \frac{e^z}{z^2} \) 在 \( z=0 \) 处的洛朗级数包含项如 \( \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \cdots \)，其中负幂部分刻画了奇异性。 渐近级数则用于描述函数在特定点（如无穷远点或奇点）附近的近似行为。一个形式幂级数 \( \sum_ {n=0}^{\infty} a_ n z^{-n} \) 称为函数 \( f(z) \) 在 \( z \to \infty \) 时的渐近级数，如果对于每个固定整数 \( N \)，有： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^{N} a_ n z^{-n} + O(z^{-(N+1)}) \quad (z \to \infty). \] 渐近级数可能发散，但其部分和在近似计算中非常有效。例如，误差函数 \( \operatorname{erf}(z) \) 在 \( z \to \infty \) 时可用渐近级数近似，尽管该级数对所有 \( z \) 都发散。 洛朗级数与渐近级数的联系在于：当函数在孤立奇点附近展开时，洛朗级数的负幂部分可直接视为渐近级数的一种形式。例如，对函数 \( f(z) = e^{1/z} \)，其在 \( z=0 \) 处的洛朗级数为 \( \sum_ {n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} z^{-n} \)，该级数在 \( z \to 0 \) 时是渐近的，但对所有 \( z \neq 0 \) 均收敛。而在 \( z \to \infty \) 时，渐近级数可能涉及不同尺度，如斯特林公式中 \( \Gamma(z) \) 的展开。 实际应用中，洛朗级数用于计算留数或分析奇点类型，而渐近级数常用于积分或微分方程的近似解。例如，在鞍点法中，复积分被近似为渐近级数，以估计大参数下的行为。两者共同提供了从局部奇性到全局渐近行为的完整描述工具。