傅里叶变换在期权定价中的应用（Fourier Transform in Option Pricing） 第一步：理解期权定价的核心挑战 期权定价的核心问题是计算在风险中性测度下，期权到期日收益的贴现值期望，即： \[ V = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[ \text{Payoff}(S_ T) ] \] 其中 \( S_ T \) 是标的资产在到期日 \( T \) 的价格。对于欧式看涨期权，收益为 \( \max(S_ T - K, 0) \)。直接计算该期望需要知道 \( S_ T \) 的概率密度函数（PDF），但许多金融模型（如随机波动率模型、跳跃扩散模型）的PDF没有解析形式，导致积分困难。 第二步：傅里叶变换的关键思想——从价格域到频率域 傅里叶变换允许我们将问题从“价格域”（直接处理 \( S_ T \) 的PDF）转换到“频率域”。定义资产对数价格 \( x_ T = \ln S_ T \) 的特征函数为： \[ \phi(u) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} [ e^{iu x_ T} ] \] 其中 \( i \) 是虚数单位。特征函数是概率密度函数 \( f(x_ T) \) 的傅里叶变换： \[ \phi(u) = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{iu x_ T} f(x_ T) dx_ T \] 即使 \( f(x_ T) \) 无解析形式，许多模型的特征函数 \( \phi(u) \) 却有闭式解（例如Heston模型、方差伽马模型）。这为定价提供了突破口。 第三步：利用傅里叶反演公式计算期权价格 通过傅里叶反演定理，期权的价格可表示为对特征函数的积分。以看涨期权为例，其价格公式为： \[ C = e^{-rT} \int_ {\ln K}^{\infty} (e^{x_ T} - K) f(x_ T) dx_ T \] 通过数学变换（如引入阻尼因子保证积分收敛），该价格可转化为： \[ C = \frac{e^{-rT}}{2\pi} \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-iu \ln K} \frac{\phi(u - i)}{iu \phi(-i)} du \] 其中 \( \phi(-i) = \mathbb{E}[ S_ T ] \)。这样，期权价格的计算转化为对一个已知函数 \( \phi(u) \) 的积分，从而规避了直接处理PDF的困难。 第四步：数值实现——快速傅里叶变换（FFT） 上述积分需数值计算。快速傅里叶变换（FFT）是一种高效算法，可同时计算大量不同行权价 \( K \) 对应的期权价格。步骤包括： 离散化积分域，将连续积分转化为求和。 利用FFT在频率域和价格域间快速切换。 通过一次计算得到整个波动率曲面或期权链的定价结果，极大提升效率。 第五步：优势与适用场景 优势 ： 适用于复杂模型（如带跳跃的随机波动率模型），这些模型的PDF无解析形式，但特征函数有闭式解。 FFT实现高效，尤其需批量定价时（如校准模型至市场数据）。 局限 ： 对奇异性（如阻尼因子选择）敏感，需谨慎处理数值稳定性。 美式期权等路径依赖型期权需扩展方法（如傅里叶时间步进法）。 总结 ：傅里叶变换通过将定价问题转换到频率域，利用特征函数的解析性克服了PDF未知的困难，再借助FFT实现高效数值计算，成为复杂模型下期权定价的核心工具之一。