可测函数的凸共轭与勒让德变换 1. 凸函数的基本概念 首先，我们回顾凸函数的定义。设 \( f: \mathbb{R}^n \to (-\infty, +\infty] \) 是一个函数（允许取无穷大值）。若对任意 \( x, y \in \mathbb{R}^n \) 和 \( \lambda \in [ 0,1 ] \)，满足 \[ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y), \] 则称 \( f \) 是凸函数。几何上，连接函数图像上任意两点的线段总位于图像上方。 2. 凸共轭的定义 对于凸函数 \( f \)，其凸共轭（或勒让德变换）定义为函数 \( f^ : \mathbb{R}^n \to (-\infty, +\infty ] \)： \[ f^ (y) = \sup_ {x \in \mathbb{R}^n} \left\{ \langle x, y \rangle - f(x) \right\}, \] 其中 \( \langle x, y \rangle \) 是内积。直观上，\( f^* (y) \) 表示所有斜率为 \( y \) 的仿射函数 \( x \mapsto \langle x, y \rangle - c \) 与 \( f \) 的最大垂直间隔。 3. 凸共轭的几何解释 考虑 \( \mathbb{R} \) 上的凸函数 \( f \)。对固定斜率 \( y \)，直线 \( L(x) = y \cdot x - c \) 需满足 \( L(x) \leq f(x) \) 对所有 \( x \) 成立。最大化 \( c \) 等价于最小化 \( f(x) - y \cdot x \) 的差距，此时 \( f^ (y) = c \)。因此，\( f^ \) 记录了支撑 \( f \) 的所有仿射函数的最小截距。 4. 凸共轭的性质 对合性 ：若 \( f \) 是下半连续凸函数，则 \( f^{** } = f \)。这意味着两次变换恢复原函数。 单调性 ：若 \( f \leq g \)，则 \( f^* \geq g^* \)。 共轭的凸性 ：无论 \( f \) 是否凸，\( f^* \) 总是凸函数（因它是仿射函数的上确界）。 微分关系 ：若 \( f \) 可微且严格凸，则 \( \nabla f \) 与 \( \nabla f^* \) 互为反函数。 5. 勒让德变换在可测函数中的应用 对于可测函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \)，若其下方图 \( \{(x,t): t \leq f(x)\} \) 是可测集，则凸共轭 \( f^* \) 仍是可测函数。这一性质在优化理论中至关重要，例如： Fenchel-Young不等式 ：对任意 \( x, y \)，有 \[ \langle x, y \rangle \leq f(x) + f^* (y), \] 等号成立当且仅当 \( y \in \partial f(x) \)（次微分）。 6. 与积分和L^p空间的关系 在函数空间中，凸共轭与勒让德对偶紧密相关。例如，若 \( f(x) = \frac{|x|^p}{p} \)（\( p>1 \)），则其共轭为 \( f^* (y) = \frac{|y|^q}{q} \)，其中 \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \)。这直接导出赫尔德不等式的对偶形式，并用于刻画 \( L^p \) 空间的对偶空间 \( L^q \)。 7. 推广到局部凸空间 在更一般的拓扑向量空间 \( X \) 中，凸共轭定义为 \[ f^ (y) = \sup_ {x \in X} \left\{ \langle x, y \rangle - f(x) \right\}, \quad y \in X^ , \] 其中 \( X^* \) 是连续对偶空间。此框架为变分分析和凸优化提供统一工具。