卡松-希尔伯特公式
卡松-希尔伯特公式是复分析中连接边界值与全纯函数的重要工具，广泛应用于数学物理中的边值问题、解析数论和可积系统。我们将从基本概念逐步推导该公式。
1. 柯西积分公式回顾
设区域 \(D\) 的边界 \(\partial D\) 是分段光滑曲线，函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内全纯且在闭包 \(\overline{D}\) 上连续，则柯西积分公式为：
\[f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta, \quad z \in D. \]
该公式表示全纯函数可由其边界值完全确定。
2. 柯西型积分与边界行为
考虑柯西型积分：
\[F(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{\phi(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta, \]
其中 \(\phi(\zeta)\) 是定义在边界 \(\partial D\) 上的函数。当 \(z\) 从内部趋近边界点 \(z_0 \in \partial D\) 时，柯西型积分的极限值满足索霍茨基-普莱梅尔公式：
\[F^+(z_0) = \frac{1}{2} \phi(z_0) + \frac{1}{2\pi i} \text{p.v.} \oint_{\partial D} \frac{\phi(\zeta)}{\zeta - z_0} d\zeta, \]
其中 \(F^+\) 表示从区域内部的极限，\(\text{p.v.}\) 表示柯西主值积分。这是推导卡松-希尔伯特公式的基础。
3. 希尔伯特变换与实轴情况
当区域为上半平面 \(\mathbb{C}^+\)，边界为实轴时，设 \(f(z)\) 在上半平面全纯，且当 \(|z| \to \infty\) 时衰减足够快。令 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 分别表示 \(f(z)\) 在实轴上的实部和虚部边界值：
\[f(x) = u(x) + i v(x), \quad x \in \mathbb{R}. \]
通过柯西积分公式和索霍茨基-普莱梅尔公式，可推导出希尔伯特变换关系：
\[v(x) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u(y)}{y - x} dy, \quad u(x) = -\frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{v(y)}{y - x} dy. \]
这表明全纯函数的实部和虚部边界值通过希尔伯特变换相互确定。
4. 单位圆盘上的卡松-希尔伯特公式
设 \(f(z)\) 在单位圆盘 \(|z| < 1\) 内全纯，在闭圆盘上连续。将边界值表示为 \(f(e^{i\theta}) = u(\theta) + i v(\theta)\)，其中 \(u(\theta)\) 和 \(v(\theta)\) 是实函数。若 \(f(0)\) 为实数，则卡松-希尔伯特公式为：
\[v(\theta) = \frac{1}{2\pi} \text{p.v.} \int_{0}^{2\pi} u(\phi) \cot\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right) d\phi, \]
\[ u(\theta) = u_0 - \frac{1}{2\pi} \text{p.v.} \int_{0}^{2\pi} v(\phi) \cot\left( \frac{\theta - \phi}{2} \right) d\phi, \]
其中 \(u_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(\phi) d\phi\) 是 \(u(\theta)\) 的平均值。核函数 \(\cot((\theta-\phi)/2)\) 是单位圆上希尔伯特变换的体现。
5. 公式的推导思路
从柯西积分公式出发，将单位圆边界参数化，利用索霍茨基-普莱梅尔公式计算边界极限。通过分离实部和虚部，并应用泊松核的性质，可导出上述关系。推导的关键在于单位圆上柯西核的实部与虚部对应泊松核和希尔伯特核。
6. 应用示例：狄利克雷问题求解
卡松-希尔伯特公式可直接用于单位圆上的狄利克雷问题：给定边界实部 \(u(\theta)\)，求圆内调和函数。步骤为：
- 由 \(u(\theta)\) 通过希尔伯特变换计算 \(v(\theta)\)；
- 构造边界函数 \(f(e^{i\theta}) = u(\theta) + i v(\theta)\)；
- 通过柯西积分或泊松积分得到圆内全纯函数 \(f(z)\)，其实部即为所求调和函数。
7. 推广与物理意义
公式可推广到多连通区域和更高维情况，在流体力学、电磁学中用于由边界势函数重构场分布，在信号处理中对应解析信号的构造。其本质揭示了全纯函数实部与虚部间的强约束关系。