模的Schanuel引理 第一步：背景与动机 在模论中，我们经常研究模之间的正合序列和投射/内射分解。例如，给定一个模 \( M \)，我们可以选择它的投射分解（即由投射模组成的正合序列）来研究同调性质。但投射分解并不唯一，不同分解之间可能存在联系。Schanuel引理揭示了这种联系的核心模式：它说明两个投射分解的“差异”本质上是一个投射模。这一结果简化了同调代数中维数的定义，并为稳定同调理论奠定了基础。 第二步：基本概念回顾 短正合序列 ：序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 满足 \( A \) 同构于 \( B \) 的子模，且 \( C \) 同构于 \( B/A \)。 投射模 ：模 \( P \) 是投射的，如果对任意满同态 \( f: M \to N \) 和同态 \( g: P \to N \)，存在 \( h: P \to M \) 使得 \( g = f \circ h \)（即提升性质）。 同构定理 ：若两个模的同构于第三个模的直和项，则它们可通过投射模关联。 第三步：Schanuel引理的陈述 设 \( M \) 是一个 \( R \)-模，且存在两个短正合序列： \[ 0 \to K \to P \to M \to 0, \quad 0 \to L \to Q \to M \to 0, \] 其中 \( P, Q \) 是投射模。则存在同构： \[ K \oplus Q \cong L \oplus P. \] 换言之，两个分解的“核” \( K \) 和 \( L \) 在直和意义下仅差一个投射模的调整。 第四步：证明思路（构造性） 构造拉回（pullback）模：定义 \( X = \{(p, q) \in P \oplus Q \mid f(p) = g(q)\} \)，其中 \( f: P \to M \) 和 \( g: Q \to M \) 是满同态。 验证正合性：通过投影映射 \( \pi_ P: X \to P \) 和 \( \pi_ Q: X \to Q \)，可得两个短正合序列： \[ 0 \to L \to X \to P \to 0, \quad 0 \to K \to X \to Q \to 0. \] 利用投射模的分裂性质：因为 \( P, Q \) 是投射的，上述序列分裂，故 \( X \cong K \oplus Q \cong L \oplus P \)。 第五步：应用与推广 投射维数 ：若 \( K \) 和 \( L \) 也是投射的，则 \( M \) 的投射维数至多为 1。引理保证了维数定义的良定性。 内射版本 ：对偶地，对内射模和內射分解，有类似的Schanuel引理。 稳定等价 ：在模的稳定范畴中，\( K \) 和 \( L \) 被视为等价，这简化了导出范畴的构造。 第六步：具体例子 设 \( R = \mathbb{Z} \)，\( M = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)。考虑两个分解： 序列1：\( 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \to M \to 0 \)（这里 \( K = \mathbb{Z} \)）。 序列2：\( 0 \to 0 \to M \xrightarrow{\mathrm{id}} M \to 0 \)（平凡分解，\( L = 0 \)，\( Q = M \) 但 \( M \) 非投射）。 此时引理不直接适用，因为 \( M \) 不是投射模。但若改用 \( 0 \to 2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to M \to 0 \)（第二个满射为 \( (a,b) \mapsto a+b \mod 2 \)），则可通过引理比较核 \( 2\mathbb{Z} \) 与 \( \mathbb{Z} \) 的关系。