曲面的平均曲率向量 我们先从曲面的平均曲率概念开始。对于一个曲面，在给定点处，我们通常用平均曲率 \( H \) 这个标量来描述曲面在该点的平均弯曲程度，它定义为两个主曲率 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 的算术平均值：\( H = \frac{k_ 1 + k_ 2}{2} \)。 现在，我们引入 平均曲率向量 的概念。平均曲率向量 \( \vec{H} \) 是一个向量，它指向曲面弯曲的平均方向。其定义与平均曲率标量 \( H \) 密切相关，但包含了方向信息。一个核心的定义方式是：平均曲率向量 \( \vec{H} \) 是曲面在某点 \( P \) 的 平均曲率 \( H \) 乘以该点的 单位法向量 \( \vec{n} ：\( \vec{H} = H \vec{n} \)。 为了更深刻地理解这个向量的几何意义，我们需要一个更本质的定义。考虑曲面上一个非常小的区域 \( \Omega \)（包含点 \( P \)），其边界是一条闭合曲线 \( \partial \Omega \)。我们可以计算这个区域边界上各点的单位法向量沿着边界的积分。当区域 \( \Omega \) 向点 \( P \) 收缩时，这个向量积分与区域面积的比值，在极限情况下就等于平均曲率向量 \( \vec{H} \)（可能相差一个常数因子）。这个定义揭示了平均曲率向量描述了曲面法向量在点 \( P \) 邻域内的“平均变化率”。 平均曲率向量有一个极其重要的性质： 平均曲率向量处处为零的曲面，称为极小曲面 。即，如果 \( \vec{H} = \vec{0} \) 在曲面上所有点都成立，那么这个曲面就是极小曲面。从物理角度看，极小曲面就像是张在给定边界上的肥皂膜，其表面积达到极小值。平均曲率向量为零，正是曲面面积取得极值的欧拉-拉格朗日方程。 平均曲率向量在曲面的微分几何中扮演着核心角色。它出现在曲面的运动方程中，例如，当曲面沿着其法向方向以某种速度运动时，平均曲率向量决定了曲面的演化规律。在图像处理和计算机图形学中，平均曲率向量的概念也被用于曲面平滑和分割等算法。理解平均曲率向量是深入研究曲面几何及其动态演化的关键一步。