复变函数的茹利亚定理与法图集
字数 2417 2025-11-27 11:59:33

复变函数的茹利亚定理与法图集

好的，我们开始学习关于复变函数的茹利亚定理与法图集的知识。这是一个与复动力系统密切相关的深刻主题，它描述了在解析函数（通常是多项式或有理函数）的迭代下，复平面如何被划分为行为规则和混沌的两个部分。

第一步：基本概念——迭代与轨道

首先，我们需要理解核心的操作：迭代。

  1. 迭代： 给定一个复变函数 \(f(z)\)，我们考虑将其反复作用于自身。我们从一点 \(z_0\) 开始：
  • 第一次迭代： \(z_1 = f(z_0)\)
  • 第二次迭代： \(z_2 = f(z_1) = f(f(z_0))\)，记作 \(f^2(z_0)\)
  • 第n次迭代： \(z_n = f(z_n-1) = f^n(z_0)\)
    这个序列 \(\{ z_0, z_1, z_2, ... \}\) 称为点 \(z_0\) 的轨道。
  1. 轨道行为： 不同起点的轨道可能表现出完全不同的长期行为。例如：
  • 收敛： 轨道可能趋向于一个固定的点（称为不动点，满足 \(f(z) = z\)）。
  • 周期性： 轨道可能进入一个循环（例如，在两点a和b之间来回跳动，满足 \(f(a)=b, f(b)=a\)），这样的点称为周期点。
    • 发散： 轨道可能趋向于无穷远。
    • 混沌： 轨道可能表现得极不规则，对初始条件极其敏感。

第二步：法图集与茹利亚集的定义

基于轨道的长期行为，我们可以将复平面（或黎曼球面）划分为两个互补的集合。

  1. 法图集： 这是“规则行为”的点的集合。更精确地说，法图集 \(F(f)\) 是所有那些轨道在迭代下表现出“稳定”或“正常”行为的起点 \(z_0\) 的集合。通常，这意味着存在一个邻域，其内所有点的轨道行为在某种意义下是相似的（例如，都收敛到同一个吸引周期轨道）。法图集是开集。

  2. 茹利亚集： 这是“混沌行为”的点的集合。茹利亚集 \(J(f)\) 是法图集的补集，即 \(J(f) = \hat{\mathbb{C}} \setminus F(f)\)（其中 \(\hat{\mathbb{C}}\) 是扩充复平面）。在茹利亚集上，动力系统表现出对初始条件的敏感依赖性（混沌的标志）、轨道稠密性等复杂特性。茹利亚集是非空的紧集。

第三步：茹利亚定理的核心内容

茹利亚定理（由法国数学家加斯东·茹利亚在1918年奠定基础）深刻地刻画了茹利亚集的性质。其核心结论可以概括为以下几点：

  1. 斥性周期点的闭包： 茹利亚集 \(J(f)\) 等于函数 \(f\) 的所有斥性周期点的闭包。
  • 周期点： 满足 \(f^p(z) = z\) 的最小正整数 \(p\) 称为周期，该点称为周期点。
  • 斥性： 如果该周期点处导数 \(|(f^p)‘(z)| > 1\)，则这个周期点是斥性的（意味着附近的点在该映射的迭代下会被推离）。
    • 这个性质意味着茹利亚集非常“丰富”，它包含了无穷多的周期点，并且这些周期点在其中是稠密的。
  1. 不变性与拓扑传递性：
  • 不变性： \(f(J(f)) = J(f)\) 且 \(f^{-1}(J(f)) = J(f)\)。这意味着茹利亚集在映射 \(f\) 下是向前和向后不变的。
  • 拓扑传递性： 在茹利亚集上，存在一个点，其轨道在 \(J(f)\) 中是稠密的。这表明系统在茹利亚集上是不可分解的（拓扑意义下的不可约）。
  1. 一致膨胀性： 在茹利亚集上，映射在某种度量下具有“膨胀”性质。这意味着任意两个不同的点，在经过足够多次的迭代后，终将被分离开一个宏观的距离。这是混沌行为的数学基础。

第四步：一个经典例子——二次多项式 \(f(z) = z^2 + c\)

最著名的例子是二次多项式族 \(f_c(z) = z^2 + c\)，其中 \(c\) 是一个复参数。

  1. 当 c = 0 时： \(f(z) = z^2\)。
    • 轨道分析：
  • 单位圆 \(|z|=1\) 上的点，其模长始终为1，轨道在单位圆上运动。
  • 单位圆内 \(|z|<1\) 的点，轨道趋于0（吸引不动点）。
  • 单位圆外 \(|z|>1\) 的点，轨道趋于无穷。
  • 结论： 法图集 \(F(f)\) 是单位圆的内部和外部。而茹利亚集 \(J(f)\) 恰好是单位圆周 \(|z|=1\)。这验证了茹利亚定理：单位圆上的点都是斥性的吗？是的，因为对于 \(|z|=1\)，有 \(|f’(z)| = |2z| = 2 > 1\)。
  1. 当 c ≠ 0 时： 茹利亚集的形状变得极其复杂，可以是分形。例如，\(c = -0.7 + 0.3i\) 时，茹利亚集是一个连通的但具有精细分形结构的集合（类似于兔子形状）；而当 \(|c|\) 较大时，茹利亚集可能是不连通的分形尘埃。

第五步：法图集与茹利亚集的深层性质

  1. 连通性： 一个关键问题是，对于 \(f_c(z) = z^2 + c\)，其茹利亚集 \(J(f_c)\) 是连通的，当且仅当参数 \(c\) 属于曼德博罗集。曼德博罗集是参数平面上的一个著名分形，定义为所有使得 \(J(f_c)\) 连通的参数 \(c\) 的集合。

  2. 局部连通性： 这是一个更精细的拓扑性质，是许多未解决问题的核心，例如MLC猜想（曼德博罗集是局部连通的吗？）。

总结来说，茹利亚定理为我们提供了一个强大的工具，将看似混沌的茹利亚集与一个非常具体且可计算的数学对象——斥性周期点的集合——联系起来。而法图集和茹利亚集的划分，则是理解复动力系统全局结构的基础，它们分别代表了规则性和混沌性，其边界（即茹利亚集）往往是具有无穷细节的分形结构。

复变函数的茹利亚定理与法图集 好的，我们开始学习关于 复变函数的茹利亚定理与法图集 的知识。这是一个与复动力系统密切相关的深刻主题，它描述了在解析函数（通常是多项式或有理函数）的迭代下，复平面如何被划分为行为规则和混沌的两个部分。 第一步：基本概念——迭代与轨道 首先，我们需要理解核心的操作： 迭代 。 迭代 ： 给定一个复变函数 \( f(z) \)，我们考虑将其反复作用于自身。我们从一点 \( z_ 0 \) 开始： 第一次迭代： \( z_ 1 = f(z_ 0) \) 第二次迭代： \( z_ 2 = f(z_ 1) = f(f(z_ 0)) \)，记作 \( f^2(z_ 0) \) 第n次迭代： \( z_ n = f(z_ n-1) = f^n(z_ 0) \) 这个序列 \( \{ z_ 0, z_ 1, z_ 2, ... \} \) 称为点 \( z_ 0 \) 的 轨道 。 轨道行为 ： 不同起点的轨道可能表现出完全不同的长期行为。例如： 收敛 ： 轨道可能趋向于一个固定的点（称为 不动点 ，满足 \( f(z) = z \)）。 周期性 ： 轨道可能进入一个循环（例如，在两点a和b之间来回跳动，满足 \( f(a)=b, f(b)=a \)），这样的点称为 周期点 。 发散 ： 轨道可能趋向于无穷远。 混沌 ： 轨道可能表现得极不规则，对初始条件极其敏感。 第二步：法图集与茹利亚集的定义 基于轨道的长期行为，我们可以将复平面（或黎曼球面）划分为两个互补的集合。 法图集 ： 这是“规则行为”的点的集合。更精确地说，法图集 \( F(f) \) 是所有那些轨道在迭代下表现出“稳定”或“正常”行为的起点 \( z_ 0 \) 的集合。通常，这意味着存在一个邻域，其内所有点的轨道行为在某种意义下是相似的（例如，都收敛到同一个吸引周期轨道）。法图集是 开集 。 茹利亚集 ： 这是“混沌行为”的点的集合。茹利亚集 \( J(f) \) 是法图集的补集，即 \( J(f) = \hat{\mathbb{C}} \setminus F(f) \)（其中 \( \hat{\mathbb{C}} \) 是扩充复平面）。在茹利亚集上，动力系统表现出对初始条件的敏感依赖性（混沌的标志）、轨道稠密性等复杂特性。茹利亚集是 非空的紧集 。 第三步：茹利亚定理的核心内容 茹利亚定理（由法国数学家加斯东·茹利亚在1918年奠定基础）深刻地刻画了茹利亚集的性质。其核心结论可以概括为以下几点： 斥性周期点的闭包 ： 茹利亚集 \( J(f) \) 等于函数 \( f \) 的所有 斥性周期点 的闭包。 周期点 ： 满足 \( f^p(z) = z \) 的最小正整数 \( p \) 称为周期，该点称为周期点。 斥性 ： 如果该周期点处导数 \( |(f^p)‘(z)| > 1 \)，则这个周期点是斥性的（意味着附近的点在该映射的迭代下会被推离）。 这个性质意味着茹利亚集非常“丰富”，它包含了无穷多的周期点，并且这些周期点在其中是稠密的。 不变性与拓扑传递性 ： 不变性 ： \( f(J(f)) = J(f) \) 且 \( f^{-1}(J(f)) = J(f) \)。这意味着茹利亚集在映射 \( f \) 下是向前和向后不变的。 拓扑传递性 ： 在茹利亚集上，存在一个点，其轨道在 \( J(f) \) 中是稠密的。这表明系统在茹利亚集上是不可分解的（拓扑意义下的不可约）。 一致膨胀性 ： 在茹利亚集上，映射在某种度量下具有“膨胀”性质。这意味着任意两个不同的点，在经过足够多次的迭代后，终将被分离开一个宏观的距离。这是混沌行为的数学基础。 第四步：一个经典例子——二次多项式 \( f(z) = z^2 + c \) 最著名的例子是二次多项式族 \( f_ c(z) = z^2 + c \)，其中 \( c \) 是一个复参数。 当 c = 0 时 ： \( f(z) = z^2 \)。 轨道分析 ： 单位圆 \( |z|=1 \) 上的点，其模长始终为1，轨道在单位圆上运动。 单位圆内 \( |z| <1 \) 的点，轨道趋于0（吸引不动点）。 单位圆外 \( |z|>1 \) 的点，轨道趋于无穷。 结论 ： 法图集 \( F(f) \) 是单位圆的内部和外部。而茹利亚集 \( J(f) \) 恰好是单位圆周 \( |z|=1 \)。这验证了茹利亚定理：单位圆上的点都是斥性的吗？是的，因为对于 \( |z|=1 \)，有 \( |f’(z)| = |2z| = 2 > 1 \)。 当 c ≠ 0 时 ： 茹利亚集的形状变得极其复杂，可以是分形。例如，\( c = -0.7 + 0.3i \) 时，茹利亚集是一个连通的但具有精细分形结构的集合（类似于兔子形状）；而当 \( |c| \) 较大时，茹利亚集可能是不连通的分形尘埃。 第五步：法图集与茹利亚集的深层性质 连通性 ： 一个关键问题是，对于 \( f_ c(z) = z^2 + c \)，其茹利亚集 \( J(f_ c) \) 是连通的，当且仅当参数 \( c \) 属于 曼德博罗集 。曼德博罗集是参数平面上的一个著名分形，定义为所有使得 \( J(f_ c) \) 连通的参数 \( c \) 的集合。 局部连通性 ： 这是一个更精细的拓扑性质，是许多未解决问题的核心，例如 MLC猜想 （曼德博罗集是局部连通的吗？）。 总结来说， 茹利亚定理 为我们提供了一个强大的工具，将看似混沌的茹利亚集与一个非常具体且可计算的数学对象——斥性周期点的集合——联系起来。而 法图集 和 茹利亚集 的划分，则是理解复动力系统全局结构的基础，它们分别代表了规则性和混沌性，其边界（即茹利亚集）往往是具有无穷细节的分形结构。