模的Gorenstein维数 我们先从熟悉的投射维数概念开始。回忆一个左 R-模 M 的投射维数 pd(M) 定义为 M 的一个投射分解的最短可能长度。具体来说，如果我们有一个正合序列 ... → P_ n → ... → P_ 1 → P_ 0 → M → 0，其中每个 P_ i 是投射模，那么使得 P_ {n+1} = P_ {n+2} = ... = 0 的最小 n 就是 pd(M)。如果不存在这样的有限分解，则记 pd(M) = ∞。 类似地，我们可以定义内射维数 id(M)，即使用内射分解来度量 M 离内射模有多“远”。 现在，我们引入一个介于投射模和内射模之间的重要概念：Gorenstein投射模。一个左 R-模 G 被称为 Gorenstein投射模，如果存在一个由投射模构成的正合序列 ... → P_ 1 → P_ 0 → P^0 → P^1 → ...，使得 G ≅ Im(P_ 0 → P^0)，并且对任意投射模 P，函子 Hom_ R(-, P) 保持这个序列的正合性。直观地说，Gorenstein投射模是那些具有“无限”投射维数但在某种意义上是“完备”的模，它可以通过一个双向无限的投射模序列来表示。 基于Gorenstein投射模，我们可以定义模的Gorenstein投射维数。一个左 R-模 M 的 Gorenstein投射维数，记为 Gpd(M)，定义为 M 的一个 Gorenstein投射分解的最短可能长度。即，存在一个正合序列 0 → G_ n → ... → G_ 1 → G_ 0 → M → 0，其中每个 G_ i 是 Gorenstein投射模，那么使得这个序列存在的最小 n 就是 Gpd(M)。如果 M 本身是Gorenstein投射模，则 Gpd(M) = 0。如果不存在这样的有限分解，则 Gpd(M) = ∞。 一个重要的结论是，对于任意模 M，总有 Gpd(M) ≤ pd(M)。并且，当 pd(M) 有限时，有 Gpd(M) = pd(M)。这表明Gorenstein维数是投射维数的一个推广，它在处理那些投射维数无限但结构仍然相对“好”的模时特别有用。 接下来，我们考虑环的背景。一个诺特环 R 称为 n-维 Gorenstein环，如果它满足以下条件： R 作为 R-模的内射维数 id(R_ R) 是有限的（记其为 n）。 对 R 的任意极大理想 m，环 R_ m 也是 n-维 Gorenstein环（即局部环情形下有有限内射维数）。 在 Gorenstein环 上，Gorenstein投射模的理论表现得尤为良好。例如，在 Gorenstein环 上，一个模是Gorenstein投射模当且仅当它对任意内射模 I，有 Ext^i_ R(M, I) = 0 对所有 i > 0 成立。这类似于投射模的特征，但将自由模的条件放宽了。 最后，Gorenstein维数与经典的投射维数、内射维数一起，构成了同调代数中度量模“复杂性”的重要工具。它在代数几何（例如研究奇点的性质）、表示论和交换代数等领域有深刻的应用，特别是在处理不是正则环但性质仍然较好的环（即Gorenstein环）时，Gorenstein维数提供了比经典维数更精细的不变量。