双曲抛物面的高斯曲率计算

字数 3071 2025-11-27 08:23:58

双曲抛物面的高斯曲率计算

我们先从双曲抛物面的定义开始。双曲抛物面是一种典型的二次曲面，其标准形式的方程为 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)。由于其形状类似于一个马鞍，它也被称为“马鞍面”。在这个方程中，常数 \(a\) 和 \(b\) 是正实数，它们控制着曲面在 \(x\) 和 \(y\) 方向上的“张开”程度。

为了计算曲面的高斯曲率，我们需要一个强大的数学工具：曲面的第一基本形式和第二基本形式。高斯曲率 \(K\) 的精确定义是第二基本形式行列式与第一基本形式行列式的比值，即 \(K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}\)。其中，\(E, F, G\) 是第一基本形式的系数，它们描述了曲面上的度量（即如何计算弧长）；\(L, M, N\) 是第二基本形式的系数，它们描述了曲面在空间中的弯曲程度。

现在，让我们具体计算双曲抛物面的这些系数。首先，我们将曲面参数化。一个常用的参数化方法是：令 \(x = au\)，\(y = bv\)，\(z = u^2 - v^2\)。这里，\((u, v)\) 是曲面的参数坐标。接下来，我们计算曲面的偏导数向量：

\(\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = (a, 0, 2u)\)
\(\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (0, b, -2v)\)

利用这些偏导数，我们可以计算第一基本形式的系数：

\(E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u = a^2 + 4u^2\)
\(F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v = (a)(0) + (0)(b) + (2u)(-2v) = -4uv\)
\(G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v = b^2 + 4v^2\)
因此，第一基本形式的行列式为 \(EG - F^2 = (a^2 + 4u^2)(b^2 + 4v^2) - (-4uv)^2 = a^2b^2 + 4a^2v^2 + 4b^2u^2\)。

接着，我们需要计算曲面的单位法向量，这是计算第二基本形式的前提。单位法向量 \(\mathbf{N}\) 由下式给出：\(\mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|}\)。我们先计算非单位化的法向量：
\(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 2u \\ 0 & b & -2v \end{vmatrix} = (-2ub - 0(-2v))\mathbf{i} - (a(-2v) - (2u)(0))\mathbf{j} + (a b - 0*0)\mathbf{k} = (-2b u)\mathbf{i} - (-2a v)\mathbf{j} + (ab)\mathbf{k} = (-2bu, 2av, ab)\)。
这个向量的模长为 \(\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\| = \sqrt{(-2bu)^2 + (2av)^2 + (ab)^2} = \sqrt{4b^2u^2 + 4a^2v^2 + a^2b^2}\)。请注意，这个模长恰好是我们刚才计算的第一基本形式行列式的平方根，即 \(\sqrt{EG - F^2} = \sqrt{a^2b^2 + 4a^2v^2 + 4b^2u^2}\)。所以单位法向量为 \(\mathbf{N} = \frac{(-2bu, 2av, ab)}{\sqrt{a^2b^2 + 4a^2v^2 + 4b^2u^2}}\)。

现在计算第二基本形式的系数，这需要求二阶偏导数：

\(\mathbf{r}_{uu} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial u^2} = (0, 0, 2)\)
\(\mathbf{r}_{uv} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial u \partial v} = (0, 0, 0)\)
\(\mathbf{r}_{vv} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial v^2} = (0, 0, -2)\)
第二基本形式的系数是这些二阶偏导数与单位法向量的点积：
\(L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{N} = (0, 0, 2) \cdot \frac{(-2bu, 2av, ab)}{\sqrt{EG - F^2}} = \frac{2ab}{\sqrt{EG - F^2}}\)
\(M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{N} = (0, 0, 0) \cdot \mathbf{N} = 0\)
\(N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{N} = (0, 0, -2) \cdot \frac{(-2bu, 2av, ab)}{\sqrt{EG - F^2}} = \frac{-2ab}{\sqrt{EG - F^2}}\)

有了所有系数，我们可以计算高斯曲率 \(K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}\)：
分子：\(LN - M^2 = (\frac{2ab}{\sqrt{D}})(\frac{-2ab}{\sqrt{D}}) - 0^2 = \frac{-4a^2b^2}{D}\)，其中 \(D = EG - F^2\)。
分母就是 \(D\)。
所以，高斯曲率 \(K = \frac{ -4a^2b^2 / D }{ D } = \frac{-4a^2b^2}{D^2} = \frac{-4a^2b^2}{(a^2b^2 + 4a^2v^2 + 4b^2u^2)^2}\)。

这个结果揭示了双曲抛物面一个非常重要的几何性质：在曲面上任意一点，其高斯曲率 \(K\) 恒为负值（因为分子是负的，分母是平方项恒正）。负的高斯曲率意味着曲面在该点附近呈马鞍形：在两个主方向上的弯曲方向是相反的（一个向上弯，一个向下弯）。此外，高斯曲率的值并非常数，它随着参数 \((u, v)\) 的变化而变化。在原点 \((0,0,0)\)（即马鞍点），高斯曲率达到其最小值（负得最多）\(K = -4/(a^2 b^2)\)。当点远离原点时，分母增大，高斯曲率的绝对值减小并趋近于零，表示曲面在该点附近变得越来越“平坦”。这个计算过程清晰地展示了如何从曲面的定义方程出发，通过系统的微分几何方法，得到其内在的弯曲度量——高斯曲率。

双曲抛物面的高斯曲率计算我们先从双曲抛物面的定义开始。双曲抛物面是一种典型的二次曲面，其标准形式的方程为 \( z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \)。由于其形状类似于一个马鞍，它也被称为“马鞍面”。在这个方程中，常数 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，它们控制着曲面在 \( x \) 和 \( y \) 方向上的“张开”程度。为了计算曲面的高斯曲率，我们需要一个强大的数学工具：曲面的第一基本形式和第二基本形式。高斯曲率 \( K \) 的精确定义是第二基本形式行列式与第一基本形式行列式的比值，即 \( K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \)。其中，\( E, F, G \) 是第一基本形式的系数，它们描述了曲面上的度量（即如何计算弧长）；\( L, M, N \) 是第二基本形式的系数，它们描述了曲面在空间中的弯曲程度。现在，让我们具体计算双曲抛物面的这些系数。首先，我们将曲面参数化。一个常用的参数化方法是：令 \( x = au \)，\( y = bv \)，\( z = u^2 - v^2 \)。这里，\( (u, v) \) 是曲面的参数坐标。接下来，我们计算曲面的偏导数向量： \( \mathbf{r}_ u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = (a, 0, 2u) \) \( \mathbf{r}_ v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (0, b, -2v) \) 利用这些偏导数，我们可以计算第一基本形式的系数： \( E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u = a^2 + 4u^2 \) \( F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v = (a)(0) + (0)(b) + (2u)(-2v) = -4uv \) \( G = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v = b^2 + 4v^2 \) 因此，第一基本形式的行列式为 \( EG - F^2 = (a^2 + 4u^2)(b^2 + 4v^2) - (-4uv)^2 = a^2b^2 + 4a^2v^2 + 4b^2u^2 \)。接着，我们需要计算曲面的单位法向量，这是计算第二基本形式的前提。单位法向量 \( \mathbf{N} \) 由下式给出：\( \mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v}{\|\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v\|} \)。我们先计算非单位化的法向量： \( \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 2u \\ 0 & b & -2v \end{vmatrix} = (-2ub - 0(-2v))\mathbf{i} - (a(-2v) - (2u)(0))\mathbf{j} + (a b - 0* 0)\mathbf{k} = (-2b u)\mathbf{i} - (-2a v)\mathbf{j} + (ab)\mathbf{k} = (-2bu, 2av, ab) \)。这个向量的模长为 \( \|\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v\| = \sqrt{(-2bu)^2 + (2av)^2 + (ab)^2} = \sqrt{4b^2u^2 + 4a^2v^2 + a^2b^2} \)。请注意，这个模长恰好是我们刚才计算的第一基本形式行列式的平方根，即 \( \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{a^2b^2 + 4a^2v^2 + 4b^2u^2} \)。所以单位法向量为 \( \mathbf{N} = \frac{(-2bu, 2av, ab)}{\sqrt{a^2b^2 + 4a^2v^2 + 4b^2u^2}} \)。现在计算第二基本形式的系数，这需要求二阶偏导数： \( \mathbf{r}_ {uu} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial u^2} = (0, 0, 2) \) \( \mathbf{r}_ {uv} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial u \partial v} = (0, 0, 0) \) \( \mathbf{r}_ {vv} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial v^2} = (0, 0, -2) \) 第二基本形式的系数是这些二阶偏导数与单位法向量的点积： \( L = \mathbf{r}_ {uu} \cdot \mathbf{N} = (0, 0, 2) \cdot \frac{(-2bu, 2av, ab)}{\sqrt{EG - F^2}} = \frac{2ab}{\sqrt{EG - F^2}} \) \( M = \mathbf{r}_ {uv} \cdot \mathbf{N} = (0, 0, 0) \cdot \mathbf{N} = 0 \) \( N = \mathbf{r}_ {vv} \cdot \mathbf{N} = (0, 0, -2) \cdot \frac{(-2bu, 2av, ab)}{\sqrt{EG - F^2}} = \frac{-2ab}{\sqrt{EG - F^2}} \) 有了所有系数，我们可以计算高斯曲率 \( K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \)：分子：\( LN - M^2 = (\frac{2ab}{\sqrt{D}})(\frac{-2ab}{\sqrt{D}}) - 0^2 = \frac{-4a^2b^2}{D} \)，其中 \( D = EG - F^2 \)。分母就是 \( D \)。所以，高斯曲率 \( K = \frac{ -4a^2b^2 / D }{ D } = \frac{-4a^2b^2}{D^2} = \frac{-4a^2b^2}{(a^2b^2 + 4a^2v^2 + 4b^2u^2)^2} \)。这个结果揭示了双曲抛物面一个非常重要的几何性质：在曲面上任意一点，其高斯曲率 \( K \) 恒为负值（因为分子是负的，分母是平方项恒正）。负的高斯曲率意味着曲面在该点附近呈马鞍形：在两个主方向上的弯曲方向是相反的（一个向上弯，一个向下弯）。此外，高斯曲率的值并非常数，它随着参数 \( (u, v) \) 的变化而变化。在原点 \( (0,0,0) \)（即马鞍点），高斯曲率达到其最小值（负得最多）\( K = -4/(a^2 b^2) \)。当点远离原点时，分母增大，高斯曲率的绝对值减小并趋近于零，表示曲面在该点附近变得越来越“平坦”。这个计算过程清晰地展示了如何从曲面的定义方程出发，通过系统的微分几何方法，得到其内在的弯曲度量——高斯曲率。