模的Socle

字数 2148 2025-11-27 07:30:31

模的Socle

我们先从模的基本概念开始。设 \(R\) 是一个环（通常假设为含幺结合环），\(M\) 是一个左 \(R\)-模。模 \(M\) 的一个子模是 \(M\) 的一个加法子群，且在 \(R\) 的作用下是封闭的。

单模（或不可约模）是指非零模 \(M\)，且除了零子模和 \(M\) 自身之外没有其他子模。例如，若 \(R\) 是域，则单 \(R\)-模就是 1 维向量空间。

定义：模 \(M\) 的 Socle，记作 \(\operatorname{Soc}(M)\)，定义为 \(M\) 的所有单子模的和。若 \(M\) 没有单子模，则定义 \(\operatorname{Soc}(M) = 0\)。

换句话说，\(\operatorname{Soc}(M)\) 是 \(M\) 的“最大半单子模”，即它是所有单子模的直和（在有限情况下，但一般地，是这些单子模的和）。

性质 1：\(\operatorname{Soc}(M)\) 是 \(M\) 的一个子模，且是半单的（即它是单子模的直和）。

证明思路：由定义，\(\operatorname{Soc}(M)\) 是单子模的和，因此是子模。要证明它是半单的，需用 Zorn 引理（或对有限情况用归纳法）说明这些单子模的和实际上是直和。

性质 2：\(\operatorname{Soc}(M)\) 是 \(M\) 中所有本质子模的交。

这里，本质子模 \(N \subseteq M\) 是指：对 \(M\) 的任意非零子模 \(K\)，有 \(N \cap K \neq 0\)。本质子模可视为“在 \(M\) 中稠密”的子模。

证明思路：一方面，若 \(S\) 是单子模，则对任意本质子模 \(N\)，有 \(S \cap N \neq 0\)，但 \(S\) 是单的，故 \(S \cap N = S\)，即 \(S \subseteq N\)。因此 \(\operatorname{Soc}(M) \subseteq \bigcap \{N \text{ 是本质子模} \}\)。另一方面，可证明 \(\operatorname{Soc}(M)\) 的补（在某个内射包中）没有非零元与 \(\operatorname{Soc}(M)\) 交，因此该交包含在 \(\operatorname{Soc}(M)\) 中。

性质 3：若 \(f: M \to N\) 是模同态，则 \(f(\operatorname{Soc}(M)) \subseteq \operatorname{Soc}(N)\)。

证明思路：单子模的同态像或是零或是单子模，因此 \(f\) 将单子模映到 \(\operatorname{Soc}(N)\) 中。

性质 4：对任意模 \(M\)，有 \(\operatorname{Soc}(\operatorname{Soc}(M)) = \operatorname{Soc}(M)\)。

这是显然的，因为 \(\operatorname{Soc}(M)\) 是半单模，其 Socle 就是自身。

例子：

若 \(M\) 是半单模，则 \(\operatorname{Soc}(M) = M\)。
若 \(R\) 是域，则 \(M\) 是向量空间，\(\operatorname{Soc}(M) = M\)（因为向量空间是半单的）。
考虑 \(R = \mathbb{Z}\)，模 \(M = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（\(n > 1\)）。若 \(n = p_1^{k_1} \cdots p_m^{k_m}\)，则单子模是那些阶为素数的子模（即 \(\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}\) 型），而 \(\operatorname{Soc}(M)\) 同构于 \(\bigoplus_{i=1}^m \mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}\)（即 \(M\) 的极大半单子模）。
若 \(M\) 是 Artin 模（满足降链条件），则 \(\operatorname{Soc}(M)\) 是有限个单子模的直和。

与根的关系：对偶地，模 \(M\) 的根（Jacobson 根）\(\operatorname{Rad}(M)\) 定义为 \(M\) 的所有极大子模的交。Socle 与根有对偶性质：例如，\(\operatorname{Soc}(M) = 0\) 当且仅当 \(M\) 没有单子模；而 \(\operatorname{Rad}(M) = M\) 当且仅当 \(M\) 没有极大子模（如非零的无挠模在某些情况下）。

应用：Socle 在表示论和同调代数中很重要，例如用于研究模的结构、内射包、以及有限长模的组成因子。

模的Socle 我们先从模的基本概念开始。设 \( R \) 是一个环（通常假设为含幺结合环），\( M \) 是一个左 \( R \)-模。模 \( M \) 的一个子模是 \( M \) 的一个加法子群，且在 \( R \) 的作用下是封闭的。单模（或不可约模）是指非零模 \( M \)，且除了零子模和 \( M \) 自身之外没有其他子模。例如，若 \( R \) 是域，则单 \( R \)-模就是 1 维向量空间。定义：模 \( M \) 的 Socle ，记作 \( \operatorname{Soc}(M) \)，定义为 \( M \) 的所有单子模的和。若 \( M \) 没有单子模，则定义 \( \operatorname{Soc}(M) = 0 \)。换句话说，\( \operatorname{Soc}(M) \) 是 \( M \) 的“最大半单子模”，即它是所有单子模的直和（在有限情况下，但一般地，是这些单子模的和）。性质 1 ：\( \operatorname{Soc}(M) \) 是 \( M \) 的一个子模，且是半单的（即它是单子模的直和）。证明思路：由定义，\( \operatorname{Soc}(M) \) 是单子模的和，因此是子模。要证明它是半单的，需用 Zorn 引理（或对有限情况用归纳法）说明这些单子模的和实际上是直和。性质 2 ：\( \operatorname{Soc}(M) \) 是 \( M \) 中所有本质子模的交。这里，本质子模 \( N \subseteq M \) 是指：对 \( M \) 的任意非零子模 \( K \)，有 \( N \cap K \neq 0 \)。本质子模可视为“在 \( M \) 中稠密”的子模。证明思路：一方面，若 \( S \) 是单子模，则对任意本质子模 \( N \)，有 \( S \cap N \neq 0 \)，但 \( S \) 是单的，故 \( S \cap N = S \)，即 \( S \subseteq N \)。因此 \( \operatorname{Soc}(M) \subseteq \bigcap \{N \text{ 是本质子模} \} \)。另一方面，可证明 \( \operatorname{Soc}(M) \) 的补（在某个内射包中）没有非零元与 \( \operatorname{Soc}(M) \) 交，因此该交包含在 \( \operatorname{Soc}(M) \) 中。性质 3 ：若 \( f: M \to N \) 是模同态，则 \( f(\operatorname{Soc}(M)) \subseteq \operatorname{Soc}(N) \)。证明思路：单子模的同态像或是零或是单子模，因此 \( f \) 将单子模映到 \( \operatorname{Soc}(N) \) 中。性质 4 ：对任意模 \( M \)，有 \( \operatorname{Soc}(\operatorname{Soc}(M)) = \operatorname{Soc}(M) \)。这是显然的，因为 \( \operatorname{Soc}(M) \) 是半单模，其 Socle 就是自身。例子：若 \( M \) 是半单模，则 \( \operatorname{Soc}(M) = M \)。若 \( R \) 是域，则 \( M \) 是向量空间，\( \operatorname{Soc}(M) = M \)（因为向量空间是半单的）。考虑 \( R = \mathbb{Z} \)，模 \( M = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)（\( n > 1 \)）。若 \( n = p_ 1^{k_ 1} \cdots p_ m^{k_ m} \)，则单子模是那些阶为素数的子模（即 \( \mathbb{Z}/p_ i\mathbb{Z} \) 型），而 \( \operatorname{Soc}(M) \) 同构于 \( \bigoplus_ {i=1}^m \mathbb{Z}/p_ i\mathbb{Z} \)（即 \( M \) 的极大半单子模）。若 \( M \) 是 Artin 模（满足降链条件），则 \( \operatorname{Soc}(M) \) 是有限个单子模的直和。与根的关系：对偶地，模 \( M \) 的根（Jacobson 根）\( \operatorname{Rad}(M) \) 定义为 \( M \) 的所有极大子模的交。Socle 与根有对偶性质：例如，\( \operatorname{Soc}(M) = 0 \) 当且仅当 \( M \) 没有单子模；而 \( \operatorname{Rad}(M) = M \) 当且仅当 \( M \) 没有极大子模（如非零的无挠模在某些情况下）。应用：Socle 在表示论和同调代数中很重要，例如用于研究模的结构、内射包、以及有限长模的组成因子。