平行四边形的欧拉定理在非欧几何中的推广（续）
我们先回顾平行四边形的欧拉定理在欧几里得几何中的核心结论：平行四边形四边长度的平方和等于两条对角线长度的平方和，即 \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2\)。这个关系依赖于欧几里得几何中的余弦定理。
在非欧几何（如双曲几何或球面几何）中，三角形的边长关系不再遵循欧几里得余弦定理，而是由各自几何的余弦定理描述。因此，平行四边形的欧拉定理需要基于非欧几何的余弦定理重新推导。
步骤1：非欧几何中的平行四边形定义
在非欧几何中，"平行四边形"仍定义为对边两两平行的四边形。但由于平行公设不同，"平行"的含义有所变化：
- 在双曲几何中，过直线外一点有无数条直线不与原直线相交（均平行于它）。
- 在球面几何中，任意两条大圆总相交（无平行线），但我们可以考虑对边为等长测地线的四边形（如球面正方形）。
步骤2：非欧几何的余弦定理
- 双曲几何：对边长为 \(a, b, c\) 的三角形，夹角为 \(C\)，双曲余弦定理为：
\[ \cosh c = \cosh a \cosh b - \sinh a \sinh b \cos C \]
其中 \(\cosh\) 和 \(\sinh\) 是双曲函数。
- 球面几何：对边长为 \(a, b, c\)（以球面角距表示）的三角形，夹角为 \(C\)，球面余弦定理为：
\[ \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C \]
步骤3：推导双曲几何中的平行四边形关系
- 考虑双曲平行四边形 \(ABCD\)，设边长 \(AB = CD = a\)，\(BC = AD = b\)，对角线 \(AC = p\)，\(BD = q\)。
- 在三角形 \(ABC\) 中，应用双曲余弦定理：
\[ \cosh p = \cosh a \cosh b - \sinh a \sinh b \cos B \]
- 在三角形 \(ABD\) 中，注意角 \(A\) 与角 \(B\) 互补（因同旁内角之和小于 \(\pi\)）：
\[ \cosh q = \cosh a \cosh b - \sinh a \sinh b \cos A \]
- 由于 \(\cos A = -\cos B\)（因 \(A + B < \pi\) 且非欧平行性导致角度关系变化），两式相加：
\[ \cosh p + \cosh q = 2 \cosh a \cosh b \]
- 利用双曲函数恒等式 \(\cosh p + \cosh q = 2 \cosh \frac{p+q}{2} \cosh \frac{p-q}{2}\)，可得：
\[ \cosh \frac{p+q}{2} \cosh \frac{p-q}{2} = \cosh a \cosh b \]
此式为双曲几何中平行四边形的对角线关系，取代了欧几里得几何的平方和公式。
步骤4：球面几何中的修正
在球面几何中，严格意义上的平行四边形不存在（无平行线），但若考虑对边相等的球面四边形（如球面矩形），其对角线关系需通过球面余弦定理推导：
- 设球面四边形的边长为 \(a, b, a, b\)，对角线为 \(p, q\)。
- 在球面三角形中应用余弦定理，并利用球面四边形的内角和大于 \(2\pi\) 的特性，最终得到关系：
\[ \cos p + \cos q = 2 \cos a \cos b \]
此式反映了球面曲率对对角线长度的约束。
总结：非欧几何中平行四边形的欧拉定理不再表现为边长的平方和关系，而是通过双曲或三角函数关联对角线长度与边长。这体现了几何基础公设对具体定理形式的决定性影响。