可测函数的凸共轭与勒让德变换 1. 凸函数的基本概念 定义 ：若函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \) 满足对任意 \( x, y \in \mathbb{R}^n \) 和 \( \lambda \in [ 0,1 ] \)： \[ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y), \] 则称 \( f \) 为凸函数。若 \( f \) 仅在某凸集 \( C \subset \mathbb{R}^n \) 上有定义，可将其延拓为 \( +\infty \) outside \( C \)。 关键性质 ：凸函数在定义域内处处连续（除边界外），且其图像位于任意切线上方。 2. 凸共轭（勒让德变换）的定义 动机 ：凸共轭通过线性函数逼近原函数，将凸函数转化为另一种对偶形式，便于分析极值问题。 形式定义 ：对可测函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \)，其凸共轭 \( f^ : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \) 定义为： \[ f^ (y) = \sup_ {x \in \mathbb{R}^n} \left\{ \langle x, y \rangle - f(x) \right\}, \] 其中 \( \langle x, y \rangle \) 表示内积。若 \( f(x) = +\infty \) 对某些 \( x \) 成立，则上确界自动忽略这些点。 几何解释 ：对每个斜率 \( y \)，\( f^* (y) \) 是全体线性函数 \( \langle \cdot, y \rangle \) 与 \( f \) 的竖直距离的最大值。 3. 凸共轭的基本性质 凸性与下半连续性 ：无论 \( f \) 是否凸，\( f^* \) 必是凸函数且下半连续（即其上方图是闭集）。 次微分关系 ：若 \( f \) 凸且可微，则 \( y \in \partial f(x) \)（次梯度）当且仅当 \( f^* (y) = \langle x, y \rangle - f(x) \)。 对合性（Fenchel-Moreau定理） ：若 \( f \) 是下半连续凸函数，则 \( f^{** } = f \)。这一性质允许通过两次共轭还原原函数。 4. 勒让德变换与可测函数 可测性保持 ：若 \( f \) 是勒贝格可测函数，则 \( f^* \) 仍是可测函数。这是因为上确界运算对可测函数保持可测性（可通过可数稠密集逼近）。 应用示例 ： 对 \( f(x) = \frac{1}{p} |x|^p \)（\( p>1 \)），其共轭为 \( f^* (y) = \frac{1}{q} |y|^q \)，其中 \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \)。 在优化理论中，共轭函数用于构造拉格朗日对偶问题。 5. 与积分和泛函分析的联系 Young不等式 ：对任意 \( x, y \in \mathbb{R}^n \)，有 \[ \langle x, y \rangle \leq f(x) + f^* (y), \] 该不等式是赫尔德不等式在一般凸函数下的推广。 对偶空间中的表示 ：在巴拿赫空间 \( X \) 中，若 \( f: X \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \) 是凸函数，则 \( f^* \) 定义在对偶空间 \( X^* \) 上，用于研究泛函的极值问题。 6. 扩展：可测函数的凸共轭在概率论中的应用 熵对偶 ：在大型偏差理论中，速率函数的凸共轭与累积生成函数相关，例如克拉默定理中涉及勒让德变换。 输运问题 ：在最优输运理论中，康托罗维奇对偶问题的目标函数可表示为凸共轭形式。 通过以上步骤，凸共轭的概念从基本定义逐步深入到可测性、对偶性及实际应用，为分析凸函数和优化问题提供了有力工具。