平行投影的几何不变量 我将为您讲解平行投影下保持不变的几何性质。平行投影是几何学中的重要概念，尤其在仿射几何和画法几何中应用广泛。 1. 平行投影的基本定义 平行投影是一种投影方式，其特点是所有投影线都互相平行。这与中心投影（所有投影线交于一点）形成对比。在三维空间中，将一个平面（原像平面）上的图形通过一组平行线投影到另一个平面（投影平面）上，所得的图形称为原像的平行投影。投影方向由这组平行线的方向决定。 2. 基本不变性：共线性 在平行投影下，最重要的不变性质之一是共线性。即，如果原像平面上的三个或多个点位于同一条直线上，那么它们在投影平面上的像点也必然位于同一条直线上。这个性质是平行投影成为仿射变换的核心特征。它意味着直线被投影为直线，线段被投影为线段。 3. 线性不变性：平行性 平行投影保持直线的平行关系。如果原像平面上的两条直线互相平行，那么它们在投影平面上的投影也互相平行。这一性质可以直接从投影线的平行性推导出来：如果两条直线在原像平面上平行，那么它们与投影方向构成的平面也是平行的，因此它们与投影平面的交线（即投影）也保持平行。 4. 比例不变性：简比 平行投影保持共线三点的简比不变。简比定义为：对于共线的三点A、B、C，其简比为(AC)/(BC)，其中AC和BC为有向线段的长度。这个性质是平行投影的核心度量不变量。它意味着平行投影虽然不保持长度和角度，但能保持线段的分比关系。例如，线段中点的投影仍然是投影线段的中点。 5. 仿射几何的基石 由于平行投影保持共线性、平行性和简比，这些性质共同构成了仿射几何的基础。仿射几何研究的就是在仿射变换（即平行投影的复合）下保持不变的性质。因此，平行投影的几何不变量实际上定义了仿射几何的研究范畴。 6. 高维推广：仿射包维数不变 在更高维的几何中，平行投影保持点集的仿射包维数不变。一个点集的仿射包是指包含这些点的最小仿射子空间。平行投影不会改变这个子空间的维度，例如，不共线的三点的仿射包是一个平面，投影后三点的仿射包仍然是一个平面（可能退化，但维数在一般情况下不变）。 7. 应用：图形识别与测量 在工程制图和计算机视觉中，利用平行投影的不变性可以进行图形识别。例如，一个物体的平行投影虽然会改变其形状，但其中点、重心、平行线段的性质得以保留，这些不变量可以作为识别和重建原始图形的依据。