模的Radical 模的Radical（根）是模论中描述模结构“底层”性质的重要工具，它与环的Jacobson根密切相关，但侧重于模的视角。以下从基础概念逐步展开： 1. 基本定义：模的根 设 \( M \) 是一个左 \( R \)-模（\( R \) 为含幺环）。 模 \( M \) 的根 （记作 \( \operatorname{Rad}(M) \)）定义为 \( M \) 的所有极大子模的交集： \[ \operatorname{Rad}(M) = \bigcap \{ N \subseteq M \mid N \text{ 是 } M \text{ 的极大子模} \}. \] 若 \( M \) 没有极大子模（如零模），则规定 \( \operatorname{Rad}(M) = M \)。 直观理解 ：根是模中所有“接近零”的元素构成的子模，这些元素能被所有极大子模“整除”（即属于每个极大子模）。 2. 与环的Jacobson根的联系 环 \( R \) 的Jacobson根 \( J(R) \) 定义为 \( R \) 的所有极大左理想的交。对任意模 \( M \)，其根满足： \[ J(R) \cdot M \subseteq \operatorname{Rad}(M), \] 即环的根作用在模上会落入模的根中。特别地，若 \( M = R \)（视为左 \( R \)-模），则 \( \operatorname{Rad}(R) = J(R) \)。 例子 ：若 \( R \) 是域，则 \( J(R) = 0 \)，任何向量空间 \( M \) 的根为零（因为极大子模是超平面，其交为 \(\{0\}\))。 3. 根的性质与刻画 幂零性 ：若 \( M \) 是有限生成模，则 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( M \) 中所有“冗余”元素的集合，即： \[ x \in \operatorname{Rad}(M) \iff \forall y \in M, \text{ 子模 } \langle x, y \rangle = M \implies \langle y \rangle = M. \] 这表示根中的元素无法“独立”生成模。 商模性质 ：\( \operatorname{Rad}(M/\operatorname{Rad}(M)) = 0 \)，即模模掉根后没有非零的根元素（称为 根零模 ）。 4. 与投射模和生成关系的联系 Nakayama引理的模版本 ：若 \( M \) 是有限生成模，且 \( N \subseteq M \) 满足 \( N + \operatorname{Rad}(M) = M \)，则 \( N = M \)。 这常用于判断生成元集是否极小：若一组生成元模掉根后仍生成 \( M/\operatorname{Rad}(M) \)，则原生成元集本身生成 \( M \)。 投射模的根 ：若 \( P \) 是投射模，则 \( \operatorname{Rad}(P) = J(R) \cdot P \)。这表明投射模的根完全由环的根作用决定。 5. 根与模的分解 在半单模（所有子模是直和项）中，根为零。更一般地，若模 \( M \) 有分解 \( M = \bigoplus M_ i \)，则 \[ \operatorname{Rad}(M) = \bigoplus \operatorname{Rad}(M_ i). \] 根在直和下行为良好，但在一般同态下需谨慎处理。 6. 应用：模的局部环结构 当 \( R \) 是局部环时，\( J(R) \) 是唯一极大理想，此时任意有限生成模 \( M \) 的根满足 \( \operatorname{Rad}(M) = J(R)M \)。这简化了模结构分析，例如在正则局部环上研究模的极小自由分解。 总结 模的根通过极大子模的交集刻画模的“底层”结构，与环的根、模的生成关系、分解理论紧密相连。它是研究模的局部性质、投射模、以及同调维数的重要工具。