二次型的表数问题与模形式的傅里叶系数 二次型的表数问题回顾 二次型的表数问题研究一个整数 \( n \) 能否被一个整系数二次型 \( Q(x_ 1, \dots, x_ k) \) 表示，即是否存在整数 \( x_ 1, \dots, x_ k \) 使得 \( Q(x_ 1, \dots, x_ k) = n \)。例如，对二次型 \( Q(x, y) = x^2 + y^2 \)，表数问题需确定哪些 \( n \) 可表示为两平方数之和。此问题与局部-全局原理、类数等概念相关，但精确公式需借助模形式工具。 模形式与Theta级数的联系 对正定二次型 \( Q \)，可构造其Theta级数： \[ \Theta_ Q(z) = \sum_ {x_ 1, \dots, x_ k \in \mathbb{Z}} q^{Q(x_ 1, \dots, x_ k)} = \sum_ {n=0}^\infty r_ Q(n) q^n, \] 其中 \( q = e^{2\pi i z} \)，\( r_ Q(n) \) 是表数 \( n \) 的表示数。当 \( Q \) 满足特定条件（如偶幺模）时，\( \Theta_ Q(z) \) 是权为 \( k/2 \) 的模形式。 模空间的分解与傅里叶系数 模形式空间可分解为艾森斯坦级数子空间与尖形式子空间： \[ M_ k(\Gamma) = \mathcal{E}_ k(\Gamma) \oplus S_ k(\Gamma). \] 若 \( \Theta_ Q \) 是模形式，可将其投影到这两个子空间。艾森斯坦部分对应表数的“平均行为”，其傅里叶系数有显式公式（如涉及除数函数）；尖形式部分则刻画表数的波动。 表示数的精确公式 通过比较傅里叶系数，可得： \[ r_ Q(n) = a_ E(n) + a_ S(n), \] 其中 \( a_ E(n) \) 来自艾森斯坦级数，反映局部可表示性决定的主项；\( a_ S(n) \) 来自尖形式，与 \( n \) 的算术性质相关。例如，对 \( Q(x, y) = x^2 + y^2 \)，有： \[ r_ Q(n) = 4 \sum_ {d \mid n} \chi_ {-4}(d) + a_ S(n), \] 其中 \( \chi_ {-4} \) 是模4的狄利克雷特征，尖形式部分在某些情况下为零。 应用与推广 此方法可推广至非幺模二次型（通过加权Theta级数）或高维表示问题。结合Hecke算子理论，傅里叶系数还可满足乘法关系，与L函数关联，进而通过朗兰兹纲领与自守表示理论深入探索表数规律。