模的Koszul对偶 我们先从模论中的基本构造——Koszul复形讲起，再逐步引入Koszul对偶的概念。 Koszul复形 设 \( R \) 是一个交换环，\( x_ 1, \dots, x_ n \in R \) 是一组元素。Koszul复形 \( K_ \bullet(x_ 1, \dots, x_ n) \) 是一个链复形，其第 \( k \) 项是 \( R \) 上的秩 \( \binom{n}{k} \) 自由模，基底由楔积 \( e_ {i_ 1} \wedge \cdots \wedge e_ {i_ k} \)（其中 \( 1 \leq i_ 1 < \cdots < i_ k \leq n \)）给出。 微分映射 \( d_ k: K_ k \to K_ {k-1} \) 由 \( d_ k(e_ {i_ 1} \wedge \cdots \wedge e_ {i_ k}) = \sum_ {j=1}^k (-1)^{j-1} x_ {i_ j} \cdot e_ {i_ 1} \wedge \cdots \wedge \hat{e} {i_ j} \wedge \cdots \wedge e {i_ k} \) 定义，其中 \( \hat{e}_ {i_ j} \) 表示去掉该元素。 该复形用于研究序列 \( (x_ 1, \dots, x_ n) \) 在 \( R \) 上的正则性，并计算同调模。 Koszul复形的同调 若 \( x_ 1, \dots, x_ n \) 是正则序列，则除了第 0 阶同调 \( H_ 0(K_ \bullet) \cong R/(x_ 1, \dots, x_ n) \) 外，其他同调模均为零。 一般情况下，同调模 \( H_ k(K_ \bullet) \) 反映了序列的深度和模的Cohen-Macaulay性质。 Koszul对偶的引入 设 \( A = \bigwedge(V) \) 是域 \( k \) 上有限维向量空间 \( V \) 的外代数，其生成元次数为 1。Koszul对偶代数 \( A^! \) 定义为 \( A \) 的二次对偶，此时 \( A^! \cong \mathrm{Sym}(V^* ) \)，即对称代数。 更一般地，对任意二次代数 \( A \)，其Koszul对偶 \( A^! \) 由对偶空间和正交关系定义，满足 \( (A^!)^ ! \cong A \)。 Koszul对偶范畴 考虑 \( A \) 的导出范畴 \( D(A) \) 和 \( A^! \) 的导出范畴 \( D(A^!) \)。Koszul对偶指出，在适当条件下存在等价 \( D(A) \simeq D(A^ !) \)。 该等价将 \( A \) 的简单模映射到 \( A^ ! \) 的投射模，并交换同调次数。 应用与推广 Koszul对偶用于计算代数簇的凝聚层上同调，例如在Springer理论中描述幂零锥的几何。 在表示论中，它联系李代数的BGG范畴 \( \mathcal{O} \) 与几何侧的上同调。 非交换几何中，Koszul对偶推广到Calabi-Yau代数的镜像对称。