复变函数的茹利亚定理 我将为您详细讲解复变函数理论中一个重要的定理——茹利亚定理。让我们从基础概念开始，逐步深入。 第一步：定理的背景与基本概念 茹利亚定理是复分析中关于整函数值分布的重要结果。在理解这个定理之前，我们需要明确几个关键概念： 整函数 ：在整个复平面上解析的函数，例如多项式、指数函数、余弦函数等。 超越整函数 ：不是多项式的整函数，如e^z、sin z等。这类函数在无穷远点具有本性奇点。 例外值 ：一个复数a称为函数f(z)的例外值，如果方程f(z)=a在复平面上只有有限个解。 第二步：皮卡定理的回顾 为了更好地理解茹利亚定理，我们先简要回顾小皮卡定理： "如果一个整函数不是常数函数，那么它最多只有一个例外值，即它取遍所有复数值，最多可能有一个值不被取到。" 例如，指数函数e^z不取0值，因此0是它的例外值。 第三步：茹利亚定理的精确表述 茹利亚定理是对皮卡定理的深化和量化： "设f(z)是一个超越整函数，a是一个复数。那么对于任意ε>0，除了可能一个依赖于a的例外值外，存在无穷多个复数z，使得|f(z)-a| <ε，且这些z点分布在从原点出发的某些射线上。" 更精确地说，存在至少一条从原点出发的射线（称为茹利亚方向），沿着这条射线的任意小角域内，f(z)取遍所有复数值无穷多次，最多可能有一个例外值。 第四步：定理的几何解释 我们可以从几何角度理解这个定理： 茹利亚方向 ：是从原点出发的某些特定射线，沿着这些方向，函数f(z)的值分布非常"稠密"。 角域 ：以茹利亚方向为中心，任意小开角度的扇形区域。 值分布 ：在每个这样的角域内，f(z)的值几乎覆盖整个复平面（最多可能缺少一个值）。 第五步：定理的证明思路 茹利亚定理的证明基于以下几个关键步骤： 反证法 ：假设不存在这样的茹利亚方向，即对于所有方向，都存在一个角度范围，使得f(z)在该角域内避开至少两个值。 蒙泰尔定理的应用 ：利用正规族理论，证明如果在每个角域内函数都避开两个值，那么函数族在该角域内是正规的。 矛盾推导 ：通过解析开拓和函数的一致有界性，推导出f(z)必须是多项式，这与f(z)是超越整函数的假设矛盾。 第六步：具体例子分析 考虑超越整函数f(z)=e^z： 它的例外值是0（因为e^z≠0） 实轴方向（arg z=0）是一个茹利亚方向 沿着实轴正向，当z→+∞时，e^z→+∞ 沿着实轴负向，当z→-∞时，e^z→0 在包含实轴的任意小角域内，e^z取遍所有非零复数值 第七步：定理的推广与应用 茹利亚定理有多个重要推广： 亚纯函数情形 ：被推广到亚纯函数，得到更精细的值分布结果。 精确的渐近估计 ：可以给出函数在茹利亚方向上取值的渐近行为估计。 动力系统应用 ：在复动力系统中，茹利亚定理用于研究有理函数的茹利亚集的拓扑性质。 这个定理深刻揭示了超越整函数在无穷远处的复杂行为，是值分布理论中的核心结果之一。