对称代数 我们从线性代数中的张量积概念开始。设 \( V \) 是域 \( \mathbb{F} \) 上的向量空间。张量代数 \( T(V) = \bigoplus_ {n \geq 0} V^{\otimes n} \) 是一个结合代数，其中乘法由张量积给出。然而，张量积不是交换的，这促使我们构造一个交换版本。 对称代数 \( S(V) \) 是张量代数模掉由所有形如 \( v \otimes w - w \otimes v \) 的元素生成的理想 \( I \)，即 \( S(V) = T(V) / I \)。这个商代数具有交换性，并且继承了分次结构：\( S(V) = \bigoplus_ {n \geq 0} S^n(V) \)，其中 \( S^n(V) \) 是 \( n \) 次齐次分量。 接下来，我们考虑对称代数的泛性质。对于任意交换结合 \( \mathbb{F} \)-代数 \( A \) 和线性映射 \( f: V \to A \)，存在唯一的代数同态 \( \tilde{f}: S(V) \to A \) 使得 \( \tilde{f} \circ i = f \)，其中 \( i: V \to S(V) \) 是典范嵌入。这个性质刻画了对称代数的唯一性。 在坐标表示下，若 \( V \) 有基 \( \{x_ 1, \dots, x_ n\} \)，则 \( S(V) \cong \mathbb{F}[ x_ 1, \dots, x_ n ] \)，即多项式代数。此时 \( S^n(V) \) 由 \( n \) 次齐次多项式构成，维数为 \( \binom{n + \dim V - 1}{n} \)。 对称代数与多重线性代数紧密相关。对称积 \( S^n(V) \) 可视为 \( V^{\otimes n} \) 在对称群 \( S_ n \) 作用下的不变子空间的对偶。具体地，\( S^n(V^ ) \cong \operatorname{Sym}^n(V^ ) \)，其中 \( \operatorname{Sym}^n \) 表示对称多重线性型。 进一步，对称代数在代数几何中用于定义射影空间：射影空间 \( \mathbb{P}(V) \) 的齐次坐标环即 \( S(V^* ) \)。在微分几何中，对称代数构造流形上光滑函数的芽环，用于定义jet空间。 最后，对称代数可推广到模上。设 \( M \) 是交换环 \( R \) 上的模，其对称代数 \( S_ R(M) \) 定义为张量代数模掉对称关系生成的理想。当 \( R \) 不是域时，\( S_ R(M) \) 的分次分量 \( S^n_ R(M) \) 可能没有简单的维数公式，但泛性质依然成立。