复变函数的伯格曼空间与再生核 我们先从基础的函数空间概念开始。考虑一个区域（比如单位圆盘）上的全纯函数。这些函数可以构成一个函数空间，如果我们在其上定义合适的内积，就能得到希尔伯特空间的结构。具体来说，对于区域D上的全纯函数f和g，定义内积为： ⟨f,g⟩ = ∫∫D f(z)g̅(z) dA(z) 其中dA是面积元素。这个内积诱导的范数就是‖f‖² = ∫∫D |f(z)|² dA(z)。所有满足‖f‖ < ∞的全纯函数构成的完备空间就是伯格曼空间，记作A²(D)。 接下来我们考虑这个空间的一个重要性质——再生性。对于任意固定的w∈D，赋值泛函f ↦ f(w)是A²(D)上的连续线性泛函。根据黎斯表示定理，存在唯一的函数K_ w∈A²(D)，使得对任意f∈A²(D)都有： f(w) = ⟨f,K_ w⟩ 这个函数K(z,w) = K_ w(z)就称为再生核，也叫伯格曼核。 现在来看再生核的具体构造。如果我们取空间的一组标准正交基{φ_ n}，那么再生核可以表示为： K(z,w) = Σφ_ n(z)φ̅_ n(w) 这个级数在D的紧子集上一致收敛。以单位圆盘为例，标准正交基可取为φ_ n(z) = √((n+1)/π) z^n，对应的伯格曼核就是： K(z,w) = 1/(π(1-zẁ)²) 这个核函数具有共形不变性：如果φ: D₁ → D₂是共形映射，那么对应的伯格曼核满足K_ {D₂}(z,w) = φ'(z)K_ {D₁}(φ(z),φ(w))φ̅'(w)。 最后讨论伯格曼度量。利用伯格曼核可以定义一种自然的黎曼度量： ds² = (∂²/∂z∂ẁ)logK(z,z) dz dẁ 这个度量在共形映射下保持不变，而且在许多几何问题中起着重要作用，比如在复几何中研究区域的曲率和边界性质。