生物数学中的基因表达随机热力学非平衡信息流模型 基础概念：基因表达随机性与热力学非平衡性 在生物数学中，基因表达过程具有显著的随机性，表现为 mRNA 和蛋白质水平的波动。这种随机性可通过化学主方程或朗之万方程描述。同时，细胞系统处于热力学非平衡态，需持续消耗能量（如 ATP 水解）以驱动转录、翻译等过程。随机热力学为结合随机性与非平衡热力学提供了框架，其中熵产生率是系统不可逆性的量化指标。 信息流的引入与量化 信息流描述系统中不同组分间因果关系的强度，例如从转录因子到目标基因的信息传递。在随机热力学框架下，信息流可通过转移熵或动态互信息的时间导数定义。以基因调控网络为例，从调控因子 \( X \) 到目标基因 \( Y \) 的信息流 \( I_ {X \to Y} \) 计算为： \[ I_ {X \to Y} = \frac{d}{dt} I(X_ t; Y_ t) - \left\langle \frac{\partial \log P(y_ t|x_ t)}{\partial t} \right\rangle, \] 其中 \( I(X_ t; Y_ t) \) 是 \( X_ t \) 与 \( Y_ t \) 的互信息，第二项表征 \( Y \) 自身动态的贡献。 非平衡稳态下的信息-热力学关系 在非平衡稳态中，信息流与热力学熵产生存在内在关联。例如，调控过程消耗的能量（以熵产生率 \( \dot{S} \) 表示）需满足信息-热力学不等式： \[ I_ {X \to Y} \leq \frac{\dot{S}}{k_ B}, \] 其中 \( k_ B \) 为玻尔兹曼常数。该不等式表明，信息流的上限由系统能耗决定，体现了生物系统在能量约束下的信息处理能力。 模型构建与动力学模拟 以双基因调控模块为例，建立随机微分方程组： \[ \begin{aligned} dx &= [ f_ x(y) - \gamma_ x x] dt + \sigma_ x dW_ x, \\ dy &= [ f_ y(x) - \gamma_ y y] dt + \sigma_ y dW_ y, \end{aligned} \] 其中 \( f_ x, f_ y \) 为调控函数，\( \gamma \) 为降解率，\( \sigma \) 为噪声强度，\( dW \) 为维纳过程。通过随机模拟（如欧拉-丸山法）生成轨迹，并计算瞬时信息流与熵产生率。 应用与生物意义 该模型可用于分析基因网络的调控效率。例如，在细胞分化中，信息流可量化主调控基因对下游靶点的控制强度；在应激响应中，高信息流可能对应快速信号传递，但需付出更高能量代价。通过优化信息流与能耗的权衡，可揭示生物系统在进化中形成的适应性策略。