模形式的自守L-函数的p进L函数与Iwasawa理论的特殊值
我们先从模形式L函数的特殊值谈起。模形式f的L函数L(f,s)在整数点s=k（k为某个与权相关的整数）处的值称为特殊值。这些特殊值常包含算术信息，例如BSD猜想中椭圆曲线的L函数在中心点s=1的值与有理点群有关。
当模形式f对应的伽罗瓦表示是p进解析族（如Hida族）的成员时，对每个素数p，我们可以构造p进L函数L_p(f,s)。它是p进变量s的函数，在整数点插值L(f,n)的某个代数部分（除了欧拉因子在p处）。更准确说，存在代数数Ω_f^±（与f的周期相关）使得
L_p(f,k) = (1 - a_p(f) p^{-k} + ...) × L(f,k) / Ω_f^±
对某些整数k成立，其中a_p(f)是f的p阶傅里叶系数。
Iwasawa理论则研究这些p进L函数在p进单位圆盘上的性质。对模形式f，其p进L函数属于某个p进解析函数环，可写成
L_p(f,s) = G_f(χ_{cyc}(s) - 1)
其中χ_{cyc}是p进循环特征，G_f是Zp[[T]]中的幂级数。Iwasawa理论的核心是研究G_f在T=0（对应s=0）附近的零点和极点，这反映了L函数在特殊点的消失阶。
特殊值的p进算术性质由Iwasawa主猜想描述：G_f在Zp[[T]]中生成的理想应与某个Selmer群的特征理想相同。对模形式情形，这联系到Bloch-Kato猜想：L_p(f,k)的p进估值给出相应Motivic上同调群的p部分信息。
具体到计算，若f是权为k的新形式，则L_p(f,1)与f对应的阿贝尔簇的p进高度有关；在权为2的椭圆曲线情形，L_p(E,1)与Tate-Shafarevich群的p部分相关。这些联系构成了p进BSD猜想的基石，将解析信息转化为p进算术不变量。