二次型的西群 我们先从二次型的基本概念开始。一个二次型是定义在某个域 \(F\) 上的 \(n\) 个变量的齐次二次多项式。例如，\(Q(x_ 1, x_ 2) = a x_ 1^2 + b x_ 1 x_ 2 + c x_ 2^2\) 是二元二次型。在深入研究西群之前，我们需要先理解二次型的矩阵表示。 二次型的矩阵表示 任何二次型 \(Q(\mathbf{x})\) 都可以写成 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\) 的形式，其中 \(A\) 是一个对称矩阵。例如，上面的二次型可以表示为： \[ Q(x_ 1, x_ 2) = \begin{pmatrix} x_ 1 & x_ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_ 1 \\ x_ 2 \end{pmatrix}. \] 这个对称矩阵 \(A\) 完全决定了二次型。 二次型的等价 两个二次型 \(Q_ 1\) 和 \(Q_ 2\) 称为等价的，如果存在一个可逆线性变换 \(P\)（即 \(P \in \mathrm{GL}(n, F)\)），使得 \(Q_ 1(\mathbf{x}) = Q_ 2(P\mathbf{x})\)。在矩阵语言中，这对应于 \(A_ 1 = P^T A_ 2 P\)，其中 \(A_ 1\) 和 \(A_ 2\) 分别是 \(Q_ 1\) 和 \(Q_ 2\) 的矩阵。 正交群 对于一个给定的二次型 \(Q\)（其矩阵为 \(A\)），保持 \(Q\) 不变的线性变换构成一个群，称为正交群，记作 \(O(Q)\)。具体来说，\(O(Q)\) 由所有满足 \(P^T A P = A\) 的可逆矩阵 \(P\) 组成。这意味着对于所有向量 \(\mathbf{x}\)，有 \(Q(P\mathbf{x}) = Q(\mathbf{x})\)。 西群的定义 当域 \(F\) 是复数域 \(\mathbb{C}\) 时，我们通常讨论西群。但更一般地，西群是正交群在复数域上的推广。具体来说，考虑一个非退化的二次型 \(Q\)（即其矩阵 \(A\) 可逆），西群 \(U(Q)\) 是满足 \(P^* A P = A\) 的所有可逆矩阵 \(P\) 构成的群，其中 \(P^* \) 表示 \(P\) 的共轭转置。当 \(A\) 是单位矩阵时，西群就是通常的西群 \(U(n)\)。 西群的性质 西群是一个李群，并且是紧致的。它的元素保持一个埃尔米特形式（在实数或复数域上）不变。西群的李代数由所有满足 \(X^* A + A X = 0\) 的矩阵 \(X\) 组成。 例子 考虑最简单的二次型 \(Q(x) = |x_ 1|^2 + |x_ 2|^2 + \dots + |x_ n|^2\)，其矩阵 \(A\) 是单位矩阵。这时西群 \(U(Q)\) 就是标准的西群 \(U(n)\)，由所有满足 \(P^* P = I\) 的矩阵 \(P\) 组成。 西群在表示论中的应用 西群在物理和数学中有广泛应用，特别是在表示论中。西群的不可约表示可以用最高权分类，并且这些表示在量子力学和粒子物理中描述对称性时至关重要。 通过以上步骤，我们循序渐进地从二次型的基本表示，经过等价关系和正交群，最终引入了西群的概念，并简要讨论了其性质和应用。