傅里叶变换在随机波动率跳跃扩散模型下的期权定价

字数 1455 2025-11-26 08:01:52

傅里叶变换在随机波动率跳跃扩散模型下的期权定价

随机波动率跳跃扩散模型的基本框架
随机波动率跳跃扩散模型是金融资产价格建模的重要工具，它同时考虑了资产价格的随机波动性和跳跃行为。模型通常由以下随机微分方程描述：

\[ \frac{dS_t}{S_t} = (r - \lambda \bar{J})dt + \sqrt{V_t}dW_t^S + J_t dN_t, \\ dV_t = \kappa(\theta - V_t)dt + \sigma_V \sqrt{V_t}dW_t^V \]

其中：

$S_t$ 为资产价格，$r$ 为无风险利率
$V_t$ 是随机方差过程（遵循CIR模型）
$W_t^S, W_t^V$ 是相关布朗运动，相关系数为 $\rho$
$N_t$ 是强度为 $\lambda$ 的泊松过程，$J_t$ 为跳跃幅度（通常假设服从对数正态分布）
$\bar{J}$ 是跳跃幅度的期望补偿项

特征函数推导的关键步骤
在该模型下，资产对数价格 $x_t = \ln S_t$ 的特征函数定义为 $\phi(u) = \mathbb{E}[e^{iux_T}|\mathcal{F}_t]$。通过求解柯西问题可得：

\[ \phi(u) = \exp\left( iux_t + A(\tau,u) + B(\tau,u)V_t + C(\tau,u) \right) \]

其中 $\tau = T-t$，函数 $A,B,C$ 通过以下常微分方程组确定：

$B' = -\kappa B + \frac{1}{2}\sigma_V^2 B^2 + \rho\sigma_V iu B - \frac{1}{2}(u^2 + iu)$
$C' = \lambda\left( \mathbb{E}[e^{iuJ}] - 1 - iu\mathbb{E}[J] \right)$
$A' = \kappa\theta B$
边界条件为 $A(0)=B(0)=C(0)=0$

傅里叶反演定价技术
利用特征函数，可通过傅里叶反演计算看涨期权价格：

\[ C(S,K) = \frac{e^{-\alpha k}}{\pi} \int_0^\infty \Re\left[ e^{-iuk} \frac{\phi(u-(\alpha+1)i)}{\alpha^2+\alpha-u^2+iu(2\alpha+1)} \right] du \]

其中 $k=\ln K$，$\alpha>0$ 为阻尼因子确保积分收敛。该公式将定价问题转化为数值积分问题，显著提高了计算效率。

跳跃项处理的特殊技巧
当跳跃幅度服从对数正态分布 $J\sim \ln\mathcal{N}(\mu_J, \sigma_J^2)$ 时，跳跃变换的期望解析式为：

\[ \mathbb{E}[e^{iuJ}] = \exp\left( iu\mu_J - \frac{1}{2}u^2\sigma_J^2 \right) \]

这一闭式解允许特征函数保持半解析形式，使傅里叶方法在包含跳跃的复杂模型中仍保持计算可行性。

数值实现要点
实际计算时需注意：
- 阻尼因子 $\alpha$ 通常取 1.5 以平衡精度与稳定性
- 使用自适应高斯求积或FFT加速积分计算
- 对特征函数中的多值函数分支需保持一致性
- 可通过控制方程验证特征函数满足终值条件

傅里叶变换在随机波动率跳跃扩散模型下的期权定价随机波动率跳跃扩散模型的基本框架随机波动率跳跃扩散模型是金融资产价格建模的重要工具，它同时考虑了资产价格的随机波动性和跳跃行为。模型通常由以下随机微分方程描述： $$ \frac{dS_ t}{S_ t} = (r - \lambda \bar{J})dt + \sqrt{V_ t}dW_ t^S + J_ t dN_ t, \\ dV_ t = \kappa(\theta - V_ t)dt + \sigma_ V \sqrt{V_ t}dW_ t^V $$ 其中： $S_ t$ 为资产价格，$r$ 为无风险利率 $V_ t$ 是随机方差过程（遵循CIR模型） $W_ t^S, W_ t^V$ 是相关布朗运动，相关系数为 $\rho$ $N_ t$ 是强度为 $\lambda$ 的泊松过程，$J_ t$ 为跳跃幅度（通常假设服从对数正态分布） $\bar{J}$ 是跳跃幅度的期望补偿项特征函数推导的关键步骤在该模型下，资产对数价格 $x_ t = \ln S_ t$ 的特征函数定义为 $\phi(u) = \mathbb{E}[ e^{iux_ T}|\mathcal{F}_ t ]$。通过求解柯西问题可得： $$ \phi(u) = \exp\left( iux_ t + A(\tau,u) + B(\tau,u)V_ t + C(\tau,u) \right) $$ 其中 $\tau = T-t$，函数 $A,B,C$ 通过以下常微分方程组确定： $B' = -\kappa B + \frac{1}{2}\sigma_ V^2 B^2 + \rho\sigma_ V iu B - \frac{1}{2}(u^2 + iu)$ $C' = \lambda\left( \mathbb{E}[ e^{iuJ}] - 1 - iu\mathbb{E}[ J ] \right)$ $A' = \kappa\theta B$ 边界条件为 $A(0)=B(0)=C(0)=0$ 傅里叶反演定价技术利用特征函数，可通过傅里叶反演计算看涨期权价格： $$ C(S,K) = \frac{e^{-\alpha k}}{\pi} \int_ 0^\infty \Re\left[ e^{-iuk} \frac{\phi(u-(\alpha+1)i)}{\alpha^2+\alpha-u^2+iu(2\alpha+1)} \right ] du $$ 其中 $k=\ln K$，$\alpha>0$ 为阻尼因子确保积分收敛。该公式将定价问题转化为数值积分问题，显著提高了计算效率。跳跃项处理的特殊技巧当跳跃幅度服从对数正态分布 $J\sim \ln\mathcal{N}(\mu_ J, \sigma_ J^2)$ 时，跳跃变换的期望解析式为： $$ \mathbb{E}[ e^{iuJ}] = \exp\left( iu\mu_ J - \frac{1}{2}u^2\sigma_ J^2 \right) $$ 这一闭式解允许特征函数保持半解析形式，使傅里叶方法在包含跳跃的复杂模型中仍保持计算可行性。数值实现要点实际计算时需注意：阻尼因子 $\alpha$ 通常取 1.5 以平衡精度与稳定性使用自适应高斯求积或FFT加速积分计算对特征函数中的多值函数分支需保持一致性可通过控制方程验证特征函数满足终值条件