可测函数的等度可测性与等度连续性的关系 我们来探讨可测函数族中两个重要概念——等度可测性与等度连续性——之间的深刻联系。让我从基本定义开始，逐步揭示它们的关系。 第一步：等度可测性的精确定义 等度可测性描述的是函数族在测度意义上的"集体正则性"。设(X,Σ,μ)是测度空间，F是一族可测函数f:X→ℝ。 F称为等度可测的，如果对任意ε>0，存在可测集E⊆X使得： μ(X\E) < ε（即E的补集测度很小） 限制在E上，F是一致有界的：存在M>0使得对所有f∈F和x∈E，有|f(x)|≤M 直观理解：我们可以去掉一个任意小的"坏集"，使得在剩下的"好集"上，整个函数族一致有界。 第二步：等度连续性的精确定义 等度连续性描述的是函数族在拓扑意义上的"集体连续性"。设(X,d)是度量空间，F是一族函数f:X→ℝ。 F称为等度连续的，如果对任意ε>0，存在δ>0，使得对所有f∈F和所有x,y∈X，只要d(x,y)<δ，就有|f(x)-f(y)| <ε。 直观理解：整个函数族不仅每个函数连续，而且它们的连续性模是"一致的"。 第三步：关键联系——在紧度量空间上的深刻关系 当X是紧度量空间且μ是博雷尔测度时，这两个概念通过以下定理建立深刻联系： 定理 ：设X是紧度量空间，μ是X上的博雷尔概率测度，F⊆C(X)是一族连续函数。如果F是等度连续的，则F是等度可测的。 证明思路 ： 由等度连续性，对任意ε>0，存在δ>0使得d(x,y)<δ⇒|f(x)-f(y)| <ε 由于X紧，可用有限个半径为δ/2的开球覆盖X 在这些球的并集上，函数值变化受控 通过适当选择，可构造测度接近全空间的子集，在其上F一致有界 第四步：反方向的关系 在适当条件下，等度可测性也能推出某种形式的正则性： 如果F是等度可测的，且每个f∈F连续，那么F在某种意义下具有"近似等度连续性"。具体来说，对任意ε>0，存在紧集K⊆X，μ(K)>1-ε，使得F限制在K上是等度连续的。 第五步：应用意义 这个关系在泛函分析和概率论中极为重要： 在证明函数族的相对紧性时（如Arzelà-Ascoli定理的推广） 在研究随机过程的样本路径性质时 在偏微分方程的紧性方法中 等度可测性提供了测度论的控制，而等度连续性提供了拓扑控制，两者结合给出了函数族行为的完整刻画。