非线性规划中的序列线性规划方法 序列线性规划方法是求解非线性规划问题的一类重要算法。其核心思想是通过一系列线性规划子问题来逐步逼近原非线性规划问题的最优解。下面我将从基础概念到具体实现细节为您详细讲解。 基本框架 该方法的基本框架是：在每次迭代中，在当前点处将非线性约束和目标函数进行线性化（一阶泰勒展开），构造一个线性规划子问题。求解该子问题得到搜索方向，然后沿该方向进行线搜索确定步长，更新当前点，重复这一过程直到满足收敛条件。 线性化过程 设原问题为： min f(x) s.t. g_ i(x) ≤ 0, i=1,...,m h_ j(x) = 0, j=1,...,p 在当前迭代点x_ k处，线性化后的子问题为： min ∇f(x_ k)^T d s.t. g_ i(x_ k) + ∇g_ i(x_ k)^T d ≤ 0, i=1,...,m h_ j(x_ k) + ∇h_ j(x_ k)^T d = 0, j=1,...,p ||d||_ ∞ ≤ Δ_ k 其中Δ_ k是信赖域半径，用于控制线性化近似的适用范围。 移动限制处理 由于线性近似仅在当前点的小邻域内有效，必须对搜索方向d施加界限约束。常用的移动限制方式包括： 信赖域法：使用||d|| ≤ Δ_ k 步长限制法：使用|l_ i ≤ d_ i ≤ u_ i| 这些限制确保了线性近似的准确性，同时防止迭代点剧烈震荡。 迭代策略 每次迭代求解线性规划子问题得到最优解d 后，计算实际下降量与预测下降量的比值： ρ_ k = [ f(x_ k) - f(x_ k + d )] / [ ∇f(x_ k)^T d* ] 根据ρ_ k的值调整信赖域半径： 若ρ_ k接近1，扩大信赖域 若ρ_ k接近0，缩小信赖域 若ρ_ k在(0,1)内，保持当前信赖域 收敛性分析 在适当的约束品性（如MFCQ）和二阶充分条件下，序列线性规划方法具有全局收敛性。收敛速率通常为线性收敛，在最优解处满足二阶充分条件时可能达到超线性收敛。 实际实现考虑 初始点选择：需要满足线性化约束的严格内点条件 可行性维持：通过过滤法或恢复阶段处理不可行子问题 海塞矩阵近似：结合准牛顿法更新二阶信息可改善收敛性能 这种方法特别适用于约束条件主要为线性的非线性规划问题，在工程优化和过程控制中有着广泛应用。