双曲抛物面的主方向与曲率线 双曲抛物面的定义与几何特征 双曲抛物面是一种典型的二次曲面，其标准方程为 \( z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \)。它的形状类似于马鞍，因此常被称为“马鞍面”。在该曲面上，沿 \(x\) 方向的截面是开口向上的抛物线，而沿 \(y\) 方向的截面是开口向下的抛物线。水平截面（\(z=\text{常数}\)）则为双曲线。这一结构决定了曲面上不同方向的弯曲性质存在显著差异。 曲面的基本形式与曲率 为了分析曲面的局部几何，需引入第一基本形式（度量）和第二基本形式（弯曲程度）。设曲面的参数化为 \(\mathbf{r}(u,v)\)，则： 第一基本形式：\( \mathrm{I} = E\,du^2 + 2F\,dudv + G\,dv^2 \)，其中 \(E=\mathbf{r}_ u\cdot\mathbf{r}_ u, F=\mathbf{r}_ u\cdot\mathbf{r}_ v, G=\mathbf{r}_ v\cdot\mathbf{r}_ v\)。 第二基本形式：\( \mathrm{II} = L\,du^2 + 2M\,dudv + N\,dv^2 \)，其中 \(L=\mathbf{r} {uu}\cdot\mathbf{n}, M=\mathbf{r} {uv}\cdot\mathbf{n}, N=\mathbf{r}_ {vv}\cdot\mathbf{n}\)，单位法向量 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_ u\times\mathbf{r}_ v}{\|\mathbf{r}_ u\times\mathbf{r}_ v\|}\)。 通过这两者可以计算法曲率 \(k_ n = \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}}\)，描述曲面在某一切线方向的弯曲程度。 主方向与主曲率的定义 在曲面上任意一点，法曲率随方向变化。 主方向 是使法曲率取极值（最大和最小）的切线方向，对应的法曲率值称为 主曲率 ，记作 \(k_ 1\) 和 \(k_ 2\)。主方向满足方程： \[ (EM - FL)\,dv^2 + (EN - GL)\,dudv + (FN - GM)\,du^2 = 0. \] 主曲率是韦恩加滕映射的特征值，通过特征方程 \(k^2 - 2Hk + K = 0\) 求解，其中 \(H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}\) 为平均曲率，\(K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}\) 为高斯曲率。 双曲抛物面的主方向计算 对双曲抛物面 \(z = x^2/a^2 - y^2/b^2\)，参数化取 \(\mathbf{r}(x,y) = (x, y, x^2/a^2 - y^2/b^2)\)： 一阶偏导：\(\mathbf{r}_ x = (1,0,2x/a^2), \mathbf{r}_ y = (0,1,-2y/b^2)\)。 二阶偏导：\(\mathbf{r} {xx} = (0,0,2/a^2), \mathbf{r} {yy} = (0,0,-2/b^2), \mathbf{r}_ {xy} = (0,0,0)\)。 计算系数： \(E=1+4x^2/a^4,\ F=-4xy/(a^2b^2),\ G=1+4y^2/b^4\)， \(L=2/(a^2\sqrt{1+4x^2/a^4+4y^2/b^4}),\ M=0,\ N=-2/(b^2\sqrt{1+4x^2/a^4+4y^2/b^4})\)。 代入主方向方程，化简得 \(dv/du = \pm (b^2/a^2)\)，表明主方向为直线方向，且相互垂直。 曲率线与几何意义 曲率线 是曲面上每点的切线方向均为主方向的曲线。对于双曲抛物面，曲率线方程由主方向场确定。通过求解微分方程： \[ \frac{dv}{du} = \frac{M - kF}{L - kE} \quad \text{或} \quad \frac{dv}{du} = \frac{N - kG}{M - kF}, \] 代入 \(M=0\) 及主曲率 \(k_ 1, k_ 2\)，可得两族相互正交的曲率线。在双曲抛物面上，曲率线恰好与渐近曲线重合（因高斯曲率 \(K=-4/(a^2b^2(1+4x^2/a^4+4y^2/b^4)^2) <0\)），且沿曲率线的法曲率分别为正（沿“脊”方向）和负（沿“谷”方向）。 应用与扩展 双曲抛物面的主方向与曲率线分析在工程和建筑中有重要应用，如薄壳结构设计，通过曲率线可优化受力分布。此外，该曲面的主方向与渐近方向一致（因 \(K <0\)），这为研究负曲率曲面的几何性质提供了典型范例。